新疆乌鲁木齐市第126中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

试卷更新日期：2024-09-23 类型：月考试卷

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一、选择题（共10小题，每小题4分）

1. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $a x^{2} + b x + c = 0$ B、 $x^{2} = 0$ C、 $x^{2} + \frac{1}{x} = 1$ D、 ${(x - 1)}^{2} + 1 = x^{2}$

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2. 用配方法解方程 $x^{2} - 8 x + 1 = 0$ ，变形后的结果正确的是（）

A、 ${(x - 4)}^{2} = 5$ B、 ${(x - 4)}^{2} = 16$ C、 ${(x - 4)}^{3} = 7$ D、 ${(x - 4)}^{2} = 15$

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3. 关于 $x$ 的方程 $4 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、只有一个实数根 D、无实数根

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4. 在长为 $30 m$ ，宽为 $20 m$ 的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为 $468 m^{2}$ ，求道路的宽度．设道路的宽度为 $x (m)$ ，则可列方程（）

A、 $(30 - 2 x) (20 - x) = 468$ B、 $(20 - 2 x) (30 - x) = 468$ C、 $30 \times 20 - 2 \cdot 30 x - 20 x = 468$ D、 $(30 - x) (20 - x) = 468$

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5. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，可知方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根为 $x = 5$ ，则方程的另一个根为（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = 0$ C、 $x = 1$ D、 $x = 2$

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6. 若 $A (- 1, y_{1})$ ， $B (1, y_{2})$ ， $C (4, y_{3})$ 三点都在二次函数 $y = - {(x - 2)}^{2} + k$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$

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7. 一次函数 $y = a x + b$ 与二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 在同一坐标系中的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x，那么x满足方程（　　）

A、 $50 {(1 + x)}^{2} = 132$ B、 ${(50 + x)}^{2} = 132$ C、 $50 (1 + x) + 50 {(1 + x)}^{2} = 132$ D、 $50 (1 + x) + 50 {(1 + 2 x)}^{2} = 132$

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9. 二次函数 $y = - x^{2} - 2 x + c^{2} - 2 c$ 在 $- 3 \leq x \leq 2$ 的范围内有最小值为 $- 5$ ，则c的值（　　）

A、3或 $- 1$ B、 $- 1$ C、 $- 3$ 或1 D、3

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10. 对称轴为直线 $x = 1$ 的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c为常数，且 $a \neq 0$ ）如图所示，小明同学得出了以下结论：① $a b c > 0$ ， ② $b^{2} < 4 a c$ ， ③ $4 a + 2 b + c > 0$ ， ④ $3 a + c > 0$ ⑤当 $x < 1$ 时，y随x的增大而减小．其中结论正确为（　　）

A、①②④ B、①③⑤ C、①②③ D、①④⑤

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二、填空题（共6小题，每小题4分）

11. 二次函数 $y = - {(x - 3)}^{2} - 4$ 的顶点坐标是．

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12. “六一”儿童节上，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为．

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13. 若抛物线 $y = x^{2} - 2 x + k - 2$ 与x轴有公共点，则k的取值范围是．

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14. 若 $α ， β$ 是方程 $x^{2} + 2 x - 2026 = 0$ 的两个实数根，则 $α^{2} + 3 α + β$ 的值为．

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15. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离 $s$ （单位： $m$ ）关于行驶时间 $t$ （单位： $s$ ）的函数解析式是 $s = 30 t - 5 t^{2}$ ，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了 $m$ ．

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16. 如图，已知抛物线 $y = - x^{2} + 4 x - 2$ 和线段 $M N$ ，点 $M$ 和点 $N$ 的坐标分别为 $(0, 4), (5, 4)$ ，将抛物线向上平移 $k (k > 0)$ 个单位长度后与线段 $M N$ 仅有一个交点，则 $k$ 的取值范围是．

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三、解答题（共7小题，17题20分，18--19题10分，20--21题12分，22题8分，23题14分）

17. 解下列方程：

(1)、 $2 {(x + 1)}^{2} = 18$ ；

(2)、 $x^{2} - 6 x = 11$ ；

(3)、 $3 x^{2} - 4 x - 2 = 0$ ；

(4)、 ${(x - 1)}^{2} = 5 x - 5$ ．

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18. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．

(1)、试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？

(2)、如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？

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19. 如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．

(1)、如果要围成面积为54平方米的花圃，那么 $A D$ 的长为多少米？

(2)、能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出 $A D$ 的长；若不能，请说明理由．

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20. $2022$ 年 $11$ 月 $29$ 日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已经知该模型平均每天可售出 $20$ 个，每个盈利 $40$ 元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．

(1)、若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？

(2)、在每个模型盈利不少于 $25$ 元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利 $1200$ 元，每个模型应降价多少元？

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21. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：
x
…
$- 1$
0
1
2
4
…
y
…
8
3
0
$- 1$
3
…

(1)、求二次函数的解析式及顶点坐标；

(2)、直接写出当 $y > 0$ 时，x的取值范围．

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22. 阅读下面的材料，回答问题．
解方程： $x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$ ．
这是一个一元四次方程，它的解法通常是：
设 $x^{2} = y$ ，那么 $x^{4} = y^{2}$ ， ∴原方程可变为 $y^{2} - 10 y + 9 = 0$ ．解得： $y_{1} = 1 ， y_{2} = 9$ ．
当 $y_{1} = 1$ 时， $x^{2} = 1$ ， ∴ $x = \pm 1$ ．
当 $y_{2} = 9$ 时， $x^{2} = 9$ ， ∴ $x = \pm 3$ ．
∴原方程有4个根： $x_{1} = 1 ， x_{2} = - 1 ， x_{3} = 3 ， x_{4} = - 3$ ．
请参照例题解方程 ${(x^{2} - x)}^{2} + 3 (x^{2} - x) - 10 = 0$ ．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 $C (0, 3)$ ，点A在原点的左侧，点B的坐标为 $(3, 0)$ ，点P是抛物线上一个动点．

(1)、求这个二次函数的解析式；

(2)、在抛物线上是否存在点P，使得 $△ A B P$ 的面积等于10．若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

(3)、若点P在直线 $B C$ 的上方，当点P运动到什么位置时， $△ B P C$ 的面积最大？请求出点P的坐标．

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x	…	$- 1$	0	1	2	4	…
y	…	8	3	0	$- 1$	3	…