广东省惠州市惠阳高级中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

试卷更新日期：2024-09-23 类型：开学考试

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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）

A、 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， 2 B、6，8，10 C、4，5，6 D、5，10，12

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2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ B、 $\sqrt{0.8}$ C、 $\sqrt{4}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 在▱ABCD中，如果∠A+∠C=140°，那么∠C等于（　　）

A、20° B、40° C、60° D、70°

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4. 下列各图象中，（）表示y是x的一次函数．

A、 B、 C、 D、

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5. 用配方法解方程 $x^{2} - 4 x + 2 = 0$ ，下列变形正确的是（）

A、 ${(x - 2)}^{2} = 2$ B、 ${(x - 4)}^{2} = 2$ C、 ${(x - 2)}^{2} = 0$ D、 ${(x - 4)}^{2} = 1$

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6. 为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为： $\bar{x_{甲}}$ = $\bar{x_{丙}}$ =13， $\bar{x_{乙}}$ = $\bar{x_{丁}}$ =15：s_甲²=s_丁²=3.6，s_乙²=s_丙²=6.3．则麦苗又高又整齐的是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在 $B C$ 上， $B D = A B$ ， $B M ⊥ A D$ 于点 $M$ ， $N$ 是 $A C$ 的中点，连接 $M N$ ，若 $A B = 5$ ， $B C = 8$ ，则 $M N$ 的长为（）

A、6 B、3 C、1.5 D、1

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8. 如图， $△ A B C$ 为等腰三角形，如果把它沿底边 $B C$ 翻折后，得到 $△ D B C$ ，那么四边形ABDC为（）

A、一般平行四边形 B、正方形 C、矩形 D、菱形

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9. 如图，直线 $y_{1} = x + b$ 与 $y_{2} = k x - 1$ 相交于点 $P$ ，点 $P$ 的横坐标为 $- 1$ ，则关于 $x$ 的不等式 $x + b < k x - 1$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C$ ， $∠ A B C = ∠ C D A = 90 °$ ， $B E ⊥ A D$ 于点 $E$ ，如果四边形 $A B C D$ 的面积为8，那么 $B E$ 的长为（）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

11. 要使式子 $\frac{\sqrt{a + 2}}{a}$ 有意义，则a的取值范围为．

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12. 已知a，b是两个连续的整数，若 $a < \sqrt{7} < b$ ，则 $\sqrt{a - 1} + \sqrt{b + 5} =$ .

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13. 菱形的两条对角线长分别是方程 $x^{2} - 14 x + 48 = 0$ 的两实根，则菱形的面积为．

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14. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $D C$ 上一点， $A E = A B$ ， $A B = 2 A D$ ，则 $∠ E B C$ 的度数是．

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 、 $A_{2} B_{2} C_{2} B_{1}$ 、 $A_{3} B_{3} C_{3} B_{2}$ ， …，按在图所示的方式放置．点 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $A_{3}$ ， …和 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ 、 $B_{3}$ ， …分别在直线 $y = k x + b$ 和 $x$ 轴上．已知 $C_{1} (1, - 1)$ ， $C_{2} (\frac{7}{2}, - \frac{3}{2})$ ，则点 $A_{3}$ 的坐标是；点 $A_{n}$ 的坐标是．

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三、解答题（共3小题，每小题8分，共24分）

16. 解答

(1)、计算 $(2024 - π)^{0} - | 1 - \sqrt{3} | - {(\frac{1}{2})}^{- 1} + \sqrt{12}$ ；

(2)、解方程 $x^{2} + x - 6 = 0$ ．

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17. 已知 $△ A B C$ 的周长为 $4 + 2 \sqrt{5}$ ，其中 $A B = 4$ ， $B C = \sqrt{5} - \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $A C$ 的长度；

(2)、判断 $△ A B C$ 是否为直角三角形，并说明理由．

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18. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAC ， CF平分∠ACD ．

(1)、求证：△ABE≌△CDF；

(2)、若AB=AC ，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．

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四、解答题（共3小题，每小题9分，共27分）

19. 某学校七八两个年级各有学生500人．为了普及冬奥如识．学校在七八年级举行了一次冬奥知识竞赛，为了解这两个年级学生的冬奥知识竞赛成绩（百分制），分别从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a、七八年级的样本成绩分布如下：

$0 \leq x \leq 9$
$10 \leq x \leq 19$
$20 \leq x \leq 29$
$30 \leq x \leq 39$
$40 \leq x \leq 49$
$50 \leq x \leq 59$
$60 \leq x \leq 69$
$70 \leq x \leq 79$
$80 \leq x \leq 89$
$90 \leq x \leq 100$
七
0
0
0
0
4
3
7
4
2
0
八
1
1
0
0
0
4
6
5
2
1
（说明：成绩在50分以下为不合格．在 $50 \sim 69$ 分为合格，70分及以上为优秀）
b、七年级成绩在 $60 \sim 69$ 一组的是：61，62，63，65，66，68，69
c、七八年级成绩的平均数、中位数、优秀率、合格率如下：
年级
平均数
中位数
优秀率
合格率
七
64.7
$m$
$n$
$80 %$
八
63.3
67
$40 %$
$90 %$
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、上述表中 $m =$ ， $n =$ ；

(2)、小军的成绩在此次抽样之中，与他所在的年级的抽样相比，小军的成绩高于平均数，却排在了后十名，则小军是年级的学生；（选填“七”或“八”）

(3)、根据样本数据，请估计参加这次竞赛活动优秀学生人数；

(4)、根据样本数据，你认为哪个年级的竞赛成绩更好，请说明理由．

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20. 配方

(1)、若 $x^{2} - 6 x + 7 = (x + m)^{2} + n \geq n$ ，则 $m =$ ， $n =$ ；

(2)、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 12$ ， $B C = 24$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 开始沿边 $A B$ 向点 $B$ 以 $2 c m / s$ 的速度移动，动点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿边 $B C$ 以 $4 c m / s$ 的速度移动．如果 $P$ 、 $Q$ 两点分别从 $A$ 、 $B$ 两点同时出发，同时停止运动．设动点运动时间为 $t (0 < t \leq 6)$ ，当 $t$ 为何值时， $△ P B Q$ 的面积最大？求该最大值．

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21. 某大学生创业，购进A、B共300件，进货时发现：8件A商品和4件B商品进货需要72元；4件A商品和3件B商品进货需要38元，设B的件数80≤x≤200 ， A ， B的总售价分别为函数z₁ ， z_2.
z₁与销售件数之间是一次函数的关系，如下表：
销售件数x
0
1
2
3
4
总售价
0
10
20
30
40
z₂与x的函数关系如图所示：

(1)、直接写出z₁ ， z₂与x的函数关系；

(2)、设销售A ， B两种商品所获利总利润为y元，求y与x之间的函数解析式；

(3)、大学生引进的300件A ， B商品全部售完，共获利350元，他计划每件A ， B商品捐给学校基金分别捐2m元，m元，捐款数恰好为总成本的10%，求m的值．

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五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分）

22. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = 2 x + 6$ 图象分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于A ， $B$ 两点，过点A的直线交 $y$ 轴正半轴于点 $M$ ，且点 $M$ 为线段 $O B$ 的中点．

(1)、求直线 $A M$ 的函数解析式；

(2)、试在直线 $A M$ 上找一点 $P$ ，使得 $S_{△ A B P} = S_{△ A O B}$ ，请求出点 $P$ 的坐标；

(3)、若点 $N$ 为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点 $N$ ，使以 $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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23. 综合探究：
“在 $△ A B C$ 中， $A B$ 、 $B C$ 、 $A C$ 三边的长分别为 $\sqrt{5}$ 、 $\sqrt{10}$ 、 $\sqrt{13}$ ，求这个三角形的面积”．
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点 $△ A B C$ （即 $△ A B C$ 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求 $△ A B C$ 的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求 $△ A B C$ 面积的方法叫做构图法．

(1)、直接写出图1中 $△ A B C$ 的面积是______；

(2)、若 $△ M N P$ 的边长分别为 $\sqrt{m^{2} + 16 n^{2}}$ 、 $\sqrt{9 m^{2} + 4 n^{2}}$ 、 $\sqrt{4 m^{2} + 4 n^{2}}$ （ $m > 0$ ， $n > 0$ ，且 $m \neq n$ ），试运用构图法在图2中画出相应的 $△ M N P$ ，并求出 $△ M N P$ 的面积．

(3)、拓展应用：求代数式： $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{{(4 - x)}^{2} + 4} (0 \leq x \leq 4)$ 的最小值．

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	$0 \leq x \leq 9$	$10 \leq x \leq 19$	$20 \leq x \leq 29$	$30 \leq x \leq 39$	$40 \leq x \leq 49$	$50 \leq x \leq 59$	$60 \leq x \leq 69$	$70 \leq x \leq 79$	$80 \leq x \leq 89$	$90 \leq x \leq 100$
七	0	0	0	0	4	3	7	4	2	0
八	1	1	0	0	0	4	6	5	2	1

年级	平均数	中位数	优秀率	合格率
七	64.7	$m$	$n$	$80 %$
八	63.3	67	$40 %$	$90 %$

销售件数x	0	1	2	3	4
总售价	0	10	20	30	40