浙江省温州市瑞安市莘塍镇第一中学2024-2025学年九年级上学期数学返校考试卷

试卷更新日期：2024-09-23 类型：开学考试

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1. 在4， $- 2$ ， 0， $\frac{1}{3}$ 四个数中，最小的为（）

A、4 B、 $- 2$ C、0 D、 $\frac{1}{3}$

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2. 下列图案中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 2024年温州经济一季度 $G D P$ 为20404000万元，其中20404000用科学记数法表示为（）

A、 $20.404 \times 1 0^{7}$ B、 $0.20404 \times 1 0^{8}$ C、 $2.0404 \times 1 0^{8}$ D、 $2.0404 \times 1 0^{7}$

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4. 计算： ${(- a)}^{2} \cdot a^{4}$ 的结果是（）

A、 $a^{8}$ B、 $a^{6}$ C、 $- a^{8}$ D、 $- a^{6}$

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5. 某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数大于100，可以选择（）

A、甲、丁 B、乙、戊 C、丙、丁 D、丙、戊

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6. 关于x的一元二次方程x²－x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）

A、m＜1 B、m＜－1 C、m≤1 D、m＞1

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7. 在△ABC中， $∠ B A C = 9 0^{∘}$ ， $A B < A C$ ．用尺规在BC边上找一点D，仔细观察、分析能使 $A D + D C = B C$ 的作法图是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 体育测试中，小超和小铭进行1000米测试，小超的速度是小铭的1.25倍，小超比小铭快了30秒，设小铭的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（）

A、 $\frac{1250}{x} - \frac{1000}{x} = 30$ B、 $30 \times 1.25 x - 30 x = 1000$ C、 $\frac{1000}{x} - \frac{1000}{1.25 x} = 30$ D、 $\frac{1000}{1.25 x} - \frac{1000}{x} = 30$

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9. 反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象上有 $P (t, y_{1})$ ， $M (t + 1, y_{2})$ ， $Q (t - 1, y_{3})$ 三点．下列选项正确的是（）

A、当 $t < - 1$ 时， $y_{2} < y_{1} < y_{3} < 0$ B、当 $t < 0$ 时， $y_{2} < y_{1} < y_{3} < 0$ C、当 $t > 1$ 时， $0 < y_{1} < y_{2} < y_{3}$ D、当 $t > 0$ 时， $0 < y_{1} < y_{2} < y_{3}$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = m$ ，且 $60 ° < m < 120 °$ ． $P$ 为 $△ A B C$ 内部一点，且 $P C = A C$ ， $∠ P C A = 120 ° - m$ ．点 $E$ 为线段 $C B$ 上一点，且 $C E = A P$ ．当 $m$ 的值发生变化时，下列角度的值不变的是（）

A、 $∠ A B C$ B、 $∠ P E B$ C、 $∠ P A B$ D、 $∠ E P C$

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二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）

11. 因式分解： $x^{2} - 2024 x =$ ．

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12. 一组数据1，1，4，3，6的众数是．

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13. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B C = 10 c m$ ，点 $D$ 在 $A C$ 上， $D C = 3 c m$ ，将线段 $D C$ 沿着 $C B$ 方向平移 $5.5 c m$ 得到线段 $E F$ ，点 $E$ ， $F$ 分别落在 $A B$ ， $B C$ 边上，则 $△ E B F$ 的周长为．

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14. 已知 ${\begin{array}{l} 2 x - y = 5 \\ 4 x + 3 y = - 10 \end{array}$ ，则 $4 x - 7 y =$ ．

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15. 如图， $∠ A = ∠ B = 90 °$ ， $A B = 100$ ， $E$ ， $F$ 分别为线段 $A B$ 和射线 $B D$ 上一点，若点 $E$ 从点 $B$ 出发向点 $A$ 运动，同时点 $F$ 从点 $B$ 出发向点 $D$ 运动，二者速度之比为 $2 : 3$ ，运动到某时刻同时停止，在射线 $A C$ 上取一点 $G$ ，使 $△ A E G$ 与 $△ B E F$ 全等，则 $A G$ 的长为．

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16. 如图，点 $Q$ 在 $y$ 轴正半轴上，点 $R$ 在 $x$ 轴正半轴上，以 $O R$ 为边向上作等边 $△ O R S$ ， $O S$ 交 $R Q$ 于点 $T$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交 $R Q$ 于点 $T$ ， $U$ ．若 $T U : R Q = 1 : 3$ ， $△ O Q T$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $k$ 的值为，则 $△ O S R$ 的面积为．

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三、简答题（本题有8小题，分值：7＋6＋10＋7＋10＋10＋10＋12＝72）

17. 计算： ${(\frac{1}{4})}^{- 1} - \sqrt[3]{8} + | - 5 |$ ．

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18. 解方程： $x^{2} - 2 x = 3$

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19. 如图：AB=AC，AD=AE，AB⊥AC，AD⊥AE。

(1)、求证：△EAC≌△DAB

(2)、判断线段EC与线段BD的关系，并说明理由

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20. 某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目： $A$ （羽毛球）， $B$ （乒乓球）， $C$ （篮球）， $D$ （排球）， $E$ （足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
解决下列问题：

(1)、这次活动一共调查了名学生，并补全条形统计图；

(2)、图②中项目 $E$ （足球）对应的百分比为．

(3)、根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目 $B$ （乒乓球）的人数．

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21. 在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后按原路返回．设汽车从甲地出发 $x$ (h)时，汽车离甲地的路程为 $y$ (km)， $y$ 与 $x$ 的函数关系如图所示．根据图象信息，解答下列问题：

(1)、这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；

(2)、求这辆汽车从甲地出发几小时时离乙地的路程为60km．

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22. 问题情景：如图直角 $△ A C D$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 1$ ， $∠ A = 22.5 °$ ，求 $C D$ 的长？
解题思路：把 $22.5 °$ 的角转化成特殊角度，再利用特殊角度进行边之间的换算．
解决方案：方法一：延长 $C D$ 至 $B$ ，使得 $∠ C A D = ∠ B A D$ ，过 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ，根据角平分线的性质定理和等腰直角三角形边的关系，可得 $C D = D E = E B = \sqrt{2} - 1$
方法二：作 $A D$ 的中垂线交 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $D F$ ，根据中垂线的性质定理和等腰直角三角形边的关务，设 $D C = x$ ， $C F = C D = x$ ， $A F = D F = 1 - x$ ， $D F = \sqrt{2} C F$ ，得 $1 - x = \sqrt{2} x$ ， $x = \sqrt{2} - 1$ ，则 $C D = \sqrt{2} - 1$ ．
其他方法……
迁移应用解决新问题：如图直角 $△ A C D$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 1$ ， $∠ A = 15 °$ ，求 $C D$ 的长，写出你的解答过程．

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23. 若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数 $y = {\begin{array}{l} \frac{2}{x} & (x \geq 1) \\ 2 | x | & (x < 1) \end{array}$ 的图象与性质．列表：
$x$
…
$- 1$
$- \frac{1}{2}$
0
$\frac{1}{2}$
1
$\frac{3}{2}$
2
…
$y$
…
2
1
0
1
2
$\frac{4}{3}$
1
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量 $x$ 的取值为横坐标，以相应的函数值 $y$ 为纵坐标，描出相应的点，并连线，如图所示．
结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题：

(1)、点 $A (3, y)$ ， $B (x, 6)$ 在函数图象上，求 $x$ ， $y$ 的值

(2)、当函数值 $y = 2$ 时，自变量 $x$ 的值为．

(3)、利用图象分析关于 $x$ 的方程 $b = {\begin{array}{l} \frac{2}{x} (x \geq 1) \\ 2 | x | (x < 1) \end{array}$ 的解的具体个数，并写出对应的 $b$ （ $b$ 为常数）的取值范围．

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24. 如图：正方形 $A B C D$ 中，在 $∠ A B C$ 内作射线 $B M$ ，作点 $C$ 关于 $B M$ 的对称点 $E$ ，连结 $A E$ 并延长交 $B M$ 于点 $F$ ，连结 $C E$ ， $C F$ ， $B E$ ．

(1)、求证： $A B = B E$

(2)、求证： $△ E F C$ 是等腰直角三角形

(3)、①若 $A E = 5$ ， $C E = \sqrt{2}$ ，求 $B F$ 的长；
②探索 $D F$ ， $B F$ ， $B C$ 三边的关系，并证明你的结论．

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$x$	…	$- 1$	$- \frac{1}{2}$	0	$\frac{1}{2}$	1	$\frac{3}{2}$	2	…
$y$	…	2	1	0	1	2	$\frac{4}{3}$	1	…