浙江省杭州高级中学贡院校区2024-2025学年九年级上学期分班考数学试卷

试卷更新日期：2024-09-23 类型：开学考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 如图直线y＝mx与双曲线y= $\frac{k}{x}$ 交于点A、B ，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM ，若S_△_AMB＝2，则k的值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 在 $△ A B C$ 中，已知 $B D$ 和 $C E$ 分别是两边上的中线，并且 $B D ⊥ C E$ ， $B D = 4$ ， $C E = 6$ ，那么 $△ A B C$ 的面积等于（）

A、 $12$ B、 $14$ C、 $16$ D、 $18$

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3. 若 $4 x - 3 y - 6 z = 0$ ， $x + 2 y - 7 z = 0 (x y z \neq 0)$ ，则 $\frac{5 x^{2} + 2 y^{2} - z^{2}}{2 x^{2} - 3 y^{2} - 10 z^{2}}$ 的值等于（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{19}{2}$ C、 $- 15$ D、 $- 13$

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4. 已知实数 $a \neq b$ ，且满足 $(a + 1)^{2} = 3 - 3 (a + 1)$ ， $3 (b + 1) = 3 - (b + 1)^{2}$ ，则 $b \sqrt{\frac{b}{a}} + a \sqrt{\frac{a}{b}}$ 的值为（）

A、 $23$ B、 $- 23$ C、 $- 2$ D、 $- 13$

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5. 如图所示， $∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F + ∠ G =$ （）

A、 $360 °$ B、 $450 °$ C、 $540 °$ D、 $720 °$

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6. 将一枚六个面编号分别为 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ ， $6$ 的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为 $a$ ，第二次掷出的点数为 $b$ ，则使关于 $x$ ， $y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} a x + b y = 3 \\ x + 2 y = 2 \end{array}$ 只有正数解的概率为（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{5}{18}$ D、 $\frac{13}{36}$

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7. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP=QO，则 $\frac{Q C}{Q A}$ 的值为（　　）

A、2 $\sqrt{3}$ -1 B、2 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ + $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$ +2

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8. 某校初三两个毕业班的学生和教师共 $100$ 人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵 $($ 排数 $\geq 3)$ ，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有（）

A、 $1$ 种 B、 $2$ 种 C、 $4$ 种 D、 $0$ 种

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二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

9. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，若斜边 $A B$ 是直角边 $B C$ 的 $3$ 倍，则 $t a n B$ 的值是．

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，则 $∠ E D C =$ ．

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11. 已知非零实数 $a$ ， $b$ 满足 $| 2 a - 4 | + | b + 2 | + \sqrt{(a - 3) b^{2}} + 4 = 2 a$ ，则 $a + b$ 等于．

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12. 如图，等腰 $R t △ A B C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $B C = \sqrt{2}$ ， $E$ 为 $A B$ 上一点，以 $C E$ 为斜边作等腰 $R t △ C D E$ ，连接 $A D$ ，若 $∠ A C E = 30 °$ ，则 $A D$ 的长为．

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13. $0 \leq x \leq 1$ 时，函数 $y = x^{2} - 2 a x + a$ 的最小值为 $- 2$ ，则实数 $a$ 的值为．

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14. 如图，正方形ABCD的边长为（ $\sqrt{2}$ +1），点M、N分别是边BC、AC上的动点，沿MN所在直线折叠正方形，使点C的对应点C'始终落在边AB上，若△NAC'为直角三角形，则CN的长为.

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15. 已知实数 $a$ 、 $b$ 、 $x$ 、 $y$ 满足 $a + b = x + y = 2$ ， $a x + b y = 5$ ，则 $(a^{2} + b^{2}) x y + a b (x^{2} + y^{2}) =$ ．

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16. 实数 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 满足 $x + y + z = 5$ ， $x y + y z + z x = 3$ ，则 $z$ 的最大值是．

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17. 已知对于任意正整数 $n$ ，都有 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = n^{3}$ ，则 $\frac{1}{a_{2} - 1} + \frac{1}{a_{3} - 1} + \dots + \frac{1}{a_{100} - 1} =$ ．

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18. 已知 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $a_{5}$ 是满足条件 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = 9$ 的五个不同的整数，若 $b$ 是关于 $x$ 的方程 $(x - a_{1}) (x - a_{2}) (x - a_{3}) (x - a_{4}) (x - a_{5}) = 2009$ 的整数根，则 $b$ 的值为．

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三、计算题：本大题共1小题，共10分。

19. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于 $A (2,3)$ ， $B (- 3, n)$ 两点．

(1)、求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)、过点 $B$ 作 $B C ⊥ x$ 轴，垂足为 $C$ ，连接 $A C$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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四、解答题：本题共4小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

20. 解关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + x - a > 1$ ．

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21. 已知关于 $x$ 的方程 $(a^{2} - 1) (\frac{x}{x - 1})^{2} - (2 a + 7) (\frac{x}{x - 1}) + 1 = 0$ 有实根．

(1)、求 $a$ 取值范围；

(2)、若原方程的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $\frac{x_{1}}{x_{1} - 1} + \frac{x_{2}}{x_{2} - 1} = \frac{3}{11}$ ，求 $a$ 的值．

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22. 如图， $⊙ O$ 的内接四边形 $A B C D$ 中， $A C$ ， $B D$ 是它的对角线， $A C$ 的中点 $I$ 是 $△ A B D$ 的内心．
求证：

(1)、 $O I$ 是 $△ I B D$ 的外接圆的切线；

(2)、 $A B + A D = 2 B D$ ．

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23. $n$ 个正整数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ 满足如下条件： $1 = a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n} = 2009$ ；且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ 中任意 $n - 1$ 个不同的数的算术平均数都是正整数 $.$ 求 $n$ 的最大值．

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