广东省深圳市南实集团南海中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试卷

试卷更新日期：2024-09-23 类型：开学考试

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一、选择题（每题3分，共24分）

1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　）

A、 $(2 + a) (2 - a) = 4 - a^{2}$ B、 $(x - 3) (4 - x) = - (x - 4) (x - 3)$ C、 $4 ab - 2 a^{2} - 1 = 2 a (2 b - a) - 1$ D、 $m^{2} - n^{2} = (m + n) (m - n)$

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3. 一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、有一个实数根 D、没有实数根

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4. 某体育中心准备改扩建一块运动场地，现有甲、乙两个工程队参与施工，相关信息如下：
工程队
每天施工面积（单位： $m^{2}$ ）
施工总面积（单位： $m^{2}$ ）
施工时间（单位：天）
甲
$x + 300$
1800
两个工程队同时完成工作任务
乙
x
1200
根据以上信息求x的值，则下列方程正确的是（）

A、 $\frac{1800}{x + 300} = \frac{1200}{x}$ B、 $\frac{1200}{x + 300} = \frac{1800}{x}$ C、 $\frac{3000}{x + 300} = \frac{600}{x}$ D、 $1200 x = 1800 (x + 300)$

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5. 如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，已知 $B D = 12$ ， $A C = 6$ ， $△ A O B$ 的周长为 $14$ ，则 $D C$ 的长为（）．

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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6. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A D$ 为中线， $E$ 为 $A D$ 的中点， $D F / / C E$ 交 $B E$ 于点 $F$ ．若 $A C = 8$ ， $B C = 12$ ，则 $D F$ 的长为（）

A、2 B、4 C、3 D、2.5

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7. 如图所示，在正方形 $A B C D$ 中，O是对角线 $A C 、 B D$ 的交点，过O作 $O E ⊥ O F$ ，分别交 $A B 、 B C$ 于E、F，若 $A E = 4 ， C F = 3$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 已知三个实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a + 2 b + 2 c > 0$ ， $a - 2 b + 2 c = 0$ ，则（）

A、 $b < 0$ ， $b^{2} - 2 a c ⩾ 0$ B、 $b > 0$ ， $b^{2} - 2 a c ⩾ 0$ C、 $b < 0$ ， $b^{2} - 2 a c ⩽ 0$ D、 $b > 0$ ， $b^{2} - 2 a c ⩽ 0$

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二、填空题（每题3分，共15分）

9. 某生物兴趣小组要在温箱里同时培养 $A$ ， $B$ 两种菌苗，已知 $A$ 种菌苗生长的适宜温度 $x^{°} C$ 的范围是 $20 ⩽ x ⩽ 28$ ， $B$ 种菌苗生长的适宜温度 $y^{°} C$ 的范围是 $19 ⩽ y ⩽ 25$ ，那么温箱里的温度 $z^{°} C$ 应该设定的范围是．

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10. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 的两个根，则 $x_{1} + x_{2}$ － $x_{1} x_{2} =$ ．

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11. 已知一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则正多边形的每个内角的度数为 $°$ ．

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12. 如图， $∠ A O B = 30 °$ ， $O P$ 平分 $∠ A O B$ ， $P D ⊥ O B$ 于 $D$ ， $P C / / O B$ 交 $O A$ 于 $C$ ．若 $P C = 10$ ，则 $O C =$ ， $P D =$ ．

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13. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 6$ ，点 $E$ 是矩形内一个动点，且满足 $S_{Δ B C E} = \frac{1}{3} S_{矩形 A B C D}$ ，点 $P$ 是 $Δ E B C$ 内一个点，则 $P E + P B + P C$ 的最小值为．

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三、解答题（共61分）

14. 解不等式组： ${\begin{array}{l} \frac{2 x - 1}{5} ⩾ x - 2 \\ 2 (x - 2) < 3 x \end{array}$ ，并写出它的正整数解．

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15. 计算：

(1)、先化简，再求值： $(1 + \frac{1}{x - 2}) \div \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 4} - 1$ ，其中 $x = \sqrt{3} + 1$ ．

(2)、解方程． $\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{(x - 1) (x + 2)}$ ．

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16. 如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中， $Δ A B C$ 的顶点均为格点（网格线的交点）．
⑴将 $Δ A B C$ 先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，得到△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请画出△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ （其中 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对应点分别为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1})$ ；
⑵再将线段 $A B$ 绕点 $B_{1}$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $A_{2} B_{2}$ ，请画出线段 $A_{2} B_{2}$ ；
⑶在网格内描出两个格点 $M$ ， $N$ ，请画出直线 $M N$ ，使得直线 $M N$ 垂直平分线段 $A_{2} B_{2}$ ．

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17. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $B E$ 、 $D F$ 分别平分 $∠ A B C$ 、 $∠ A D C$ ，交 $A C$ 分别于点 $E$ 、 $F$ ．已知平行四边形 $A B C D$ 的周长为48．

(1)、求证： $B E = D F$ ；

(2)、过点 $E$ 作 $E M ⊥ A B$ 于点 $M$ ，若 $E M = 6$ ，求 $Δ A C D$ 的面积．

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18. 中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣.某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的 $\frac{3}{4}$ ，用720元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买6本．

(1)、求两种图书的单价分别为多少元；

(2)、为筹备“国际数学节 3月14日”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共160本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按九折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少．

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19. 根据下列素材，探索完成任务．

如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1	如图1，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示．
素材2	如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为 $a$ $c m (a < 50 c m)$ 长方形纸板．
	长方形纸板①	长方形纸板②

	小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
	长方形纸板①的制作方式	长方形纸板②制作方式
	裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒．	将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
目标1	熟悉材料	熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽 $a$ 的为 ▲ ．
目标2	利用目标1计算所得的数据 $a$ ，进行进一步探究．
	初步应用	按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是 $936 c m^{2}$ ，求储物盒的容积．
	储物收纳	按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若 $E F$ 和 $H G$ 两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为 $702 c m^{2}$ ．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．

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20. 阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
如图①，在等边 $Δ A B C$ 中， $M$ 是 $B C$ 边上一点（不含端点 $B$ ， $C)$ ， $N$ 是 $Δ A B C$ 的外角 $∠ A C H$ 的平分线上一点，且 $A M = M N$ ．求证： $∠ A M N = 60 °$ ．

(1)、点拨：如图②，作 $∠ C B E = 60 °$ ， $B E$ 与 $N C$ 的延长线相交于点 $E$ ，得等边 $Δ B E C$ ，连接 $E M$ ．易证： $Δ A B M ≅ Δ E B M (S A S)$ ，请完成剩余证明过程；

(2)、拓展：如图③，在正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M_{1}$ 是 $B_{1} C_{1}$ 边上一点（不含端点 $B_{1}$ ， $C_{1})$ ， $N_{1}$ 是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外角 $∠ D_{1} C_{1} H_{1}$ 的平分线上一点，且 $A_{1} M_{1} = M_{1} N_{1}$ ，求证： $∠ A_{1} M_{1} N_{1} = 90 °$ ．

(3)、思维迁移：结合上面的思维探究，你对（1）中证明 $∠ A M N = 60 °$ 、（2）中证明 $∠ A_{1} M_{1} N_{1} = 90 °$ 是否有不同的思路，选（1）、（2）中的一个结论加以证明．

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工程队	每天施工面积（单位： $m^{2}$ ）	施工总面积（单位： $m^{2}$ ）	施工时间（单位：天）
甲	$x + 300$	1800	两个工程队同时完成工作任务
乙	x	1200	两个工程队同时完成工作任务