广西柳州三十五中2024-2025学年九年级上学期开学数学试卷

试卷更新日期：2024-09-23 类型：开学考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列方程中，是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} - 5 x = 0$ B、 $x + 1 = 0$ C、 $y - 2 x = 0$ D、 $2 x^{3} - 2 = 0$

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2. 二次函数 $y = (m - 2) x^{2} + 2 x - 1$ 中， $m$ 的取值范围是（）

A、 $m > 2$ B、 $m < 2$ C、 $m \neq 2$ D、一切实数

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3. 已知 $x = 1$ 是关于x的一元二次方程 $x^{2} + m x = 0$ 的一个根，则m的值是（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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4. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x = 0$ 的解为（）

A、 $x = 2$ B、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 2$ C、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 2$ D、 $x = - 2$

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5. 已知二次函数 $y = (a - 1) x^{2}$ ，当 $x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而减小，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a > 0$ B、 $a < 1$ C、 $a \neq 1$ D、 $a > 1$

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6. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（）

A、 $x^{2} - 2 x = 0$ B、 $x^{2} + 4 x - 1 = 0$ C、 $3 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ D、 $2 x^{2} - 4 x + 3 = 0$

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7. 如图，是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象，由图象可知不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集是（）

A、 $x > 3$ B、 $x < - 1$ C、 $- 1 < x < 3$ D、 $x > 3$ 或 $x < - 1$

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8. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 $43$ ，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

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9. $2024$ 年 $8$ 月 $2$ 日，第八届广西万村篮球赛暨广西社区运动会县级赛在柳州市鱼峰区白沙镇举行开赛仪式，据了解，本次鱼峰区比赛采用单循环制 $($ 每两支球队之间都进行一场比赛 $)$ ，如果比赛共进行了 $78$ 场，则一共有多少支球队参加比赛？设一共有 $x$ 支球队参加比赛，根据题意可列方程是（）

A、 $\frac{x (x + 1)}{2} = 78$ B、 $x (x - 1) = 78$ C、 $x (x + 1) = 78$ D、 $\frac{x (x - 1)}{2} = 78$

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10. 如图是抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象的一部分，抛物线的顶点是 $A$ ，对称轴是直线 $x = 1$ ，且抛物线与 $x$ 轴的一个交点为 $B (4,0)$ ；直线 $A B$ 的解析式为 $y_{2} = m x + n (m \neq 0) .$ 下列结论：
$① 2 a + b = 0$ ；
$② a b c > 0$ ；
$③$ 方程 $a x^{2} + b x + c = m x + n$ 有两个不相等的实数根；
$④$ 抛物线与 $x$ 轴的另一个交点是 $(- 1,0)$ ；
$⑤$ 当 $1 < x < 4$ 时，则 $y_{1} > y_{2}$ ，其中正确的是（）

A、 $① ②$ B、 $① ③ ⑤$ C、 $① ④$ D、 $① ④ ⑤$

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二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。

11. 方程 $x^{2} - 4 = 0$ 的解是．

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12. 抛物线 $y = (x - 1)^{2} + 3$ 的顶点坐标为．

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13. 关于x的一元二次方程x²＋2x－1＝0的两根之和为．

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14. 已知点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 在二次函数 $y = \frac{1}{5} (x - 3)^{2} - 2$ 的图象上，若 $x_{1} < x_{2} < 3$ ，则 $y_{1}$ $y_{2} ($ 填“ $>$ ”、“ $<$ ”或“ $=$ ” $)$ ．

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15. 关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是．

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16. $《$ 代数学 $》$ 中记载，形如 $x^{2} + 8 x = 33$ 的方程，求正数解的几何方法是：“如图 $1$ ，先构造一个面积为 $x^{2}$ 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 $2 x$ 的矩形，得到大正方形的面积为 $33 + 16 = 49$ ，则该方程的正数解为 $7 - 4 = 3 .$ ”小唐按此方法解关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 12 x = m$ 时，构造出如图 $2$ 所示的图形，已知阴影部分的面积为 $64$ ，则该方程的正数解为．

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三、解答题：本题共7小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 解下列方程：
$(1) x^{2} + 2 x - 3 = 0$ ；
$(2) x^{2} - 8 x = - 16$ ；
$(3) 3 x^{2} - 4 x - 2 = 0$ ；
$(4) x (x - 2) = 5 (x - 2)$ ．

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18. 有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．

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19. 已知抛物线 $y = 2 x^{2} + 4 x - 6$ ．

(1)、求抛物线的对称轴；

(2)、将该抛物线向右平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求 $m$ 的值．

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20. 已知关于x的一元二次方程x²+6x+（2m+1）＝0有实数根．

(1)、求m的取值范围；

(2)、如果方程的两个实数根为x₁ ， x₂ ，且2x₁x₂-x₁-x₂≥8，求m的取值范围．

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21. “杭州亚运 $\cdot$ 三人制篮球”赛将于 $9$ 月 $25 - 10$ 月 $1$ 日在我县举行，我县某商店抓住商机，销售某款篮球服 $. 6$ 月份平均每天售出 $100$ 件，每件盈利 $40$ 元 $.$ 为了扩大销售、增加盈利， $7$ 月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低 $1$ 元，平均每天可多售出 $10$ 件．

(1)、若降价 $5$ 元，求平均每天的销售数量；

(2)、当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 $6000$ 元？

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22. 阅读与理解：如果关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 $1$ ，那么称这样的方程为“邻根方程” $.$ 例如一元二次方程 $x^{2} + x = 0$ 的两个根是 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 1$ ，则方程 $x^{2} + x = 0$ 是“邻根方程”．

(1)、通过计算，判断方程 $x^{2} - 9 x + 20 = 0$ 是否是“邻根方程”；

(2)、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (m - 1) x - m = 0 (m$ 是常数 $)$ 是“邻根方程”，求 $m$ 的值．

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23. 如图，直线 $y = x - 3$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $B$ 、 $A$ ，抛物线 $y = a (x - 2)^{2} + k$ 经过点 $A$ 、 $B$ ，其顶点为 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

(3)、点 $P$ 为直线 $A B$ 上方抛物线上的任意一点，过点 $P$ 作 $P D / / y$ 轴交直线 $A B$ 于点 $D$ ，求线段 $P D$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标．

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