广西大学附中2024-2025学年九年级上学期数学开学试卷

试卷更新日期：2024-09-23 类型：开学考试

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一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} + y = 3$ B、 $3 x + y - 5 = 0$ C、 $x + \frac{1}{x} = 3$ D、 $x^{2} - 8 = 0$

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2. 下列垃圾分类的标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，若 $∠ C = 125 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为（）

A、 $25 °$ B、 $30 °$ C、 $50 °$ D、 $55 °$

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4. 若二次函数y=ax²的图象经过点P(-2，4)，则该图象必经过点( )

A、(2，4) B、(-2，-4) C、(-4，2) D、(4，-2)

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5. 若x₁ ， x₂是方程x²-6x-7＝0的两个根，则（）

A、x₁+x₂＝6 B、x₁+x₂＝-6 C、x₁x₂＝ $\frac{7}{6}$ D、x₁x₂＝7

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6. 将抛物线 $y = (x - 1)^{2} + 2$ 向上平移 $2$ 个单位长度，再向右平移 $3$ 个单位长度，得到的抛物线为（）

A、 $y = (x - 1)^{2} + 4$ B、 $y = (x - 4)^{2} + 4$ C、 $y = (x + 2)^{2} + 6$ D、 $y = (x - 4)^{2} + 6$

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7. 据国家统计局发布的 $《 2022$ 年国民经济和社会发展统计公报 $》$ 显示， $2020$ 年和 $2022$ 年全国居民人均可支配收入分别为 $3.2$ 万元和 $3.7$ 万元 $.$ 设 $2020$ 年至 $2022$ 年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为 $x$ ，依题意可列方程为（）

A、 $3.2 (1 - x)^{2} = 3.7$ B、 $3.2 (1 + x)^{2} = 3.7$ C、 $3.7 (1 - x)^{2} = 3.2$ D、 $3.7 (1 + x)^{2} = 3.2$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 80 °$ ， $∠ C = 65 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ．当 $A B^{'}$ 落在 $A C$ 上时， $∠ B A C^{'}$ 的度数为（）

A、 $65 °$ B、 $70 °$ C、 $80 °$ D、 $85 °$

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9. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 4 x - k = 0$ 有两个相等的实数根，则 $k$ 的值为（）

A、 $- 4$ B、 $4$ C、 $0$ D、 $16$

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10. 已知 $A (- 1, y_{1})$ ， $B (2, y_{2})$ ， $C (4, y_{3})$ 是二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + c$ 的图象上的三个点，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ D、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$

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11. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 $A$ ， $B$ ，连接 $A B$ ，作 $A B$ 的垂直平分线 $C D$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，交 $\overset{⏜}{A B}$ 于点 $C$ ，测出 $A B = 40 c m$ ， $C D = 10 c m$ ，则圆形工件的半径为（）

A、 $50 c m$ B、 $35 c m$ C、 $25 c m$ D、 $20 c m$

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12. 如图，抛物线 $m$ ： $y = a x^{2} + b (a < 0, b > 0)$ 与 $x$ 轴于点 $A$ 、 $B ($ 点 $A$ 在点 $B$ 的左侧 $)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C .$ 将抛物线 $m$ 绕点 $B$ 旋转 $180 °$ ，得到新的抛物线 $n$ ，它的顶点为 $C_{1}$ ，与 $x$ 轴的另一个交点为 $A_{1} .$ 若四边形 $A C_{1} A_{1} C$ 为矩形，则 $a$ ， $b$ 应满足的关系式为（）

A、 $a b = - 2$ B、 $a b = - 3$ C、 $a b = - 4$ D、 $a b = - 5$

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二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。

13. 抛物线 $y = (x - 2)^{2} + 5$ 的顶点坐标是．

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14. 一元二次方程 $2 x^{2} = 9 x + 5$ 化为一般形式之后，则一次项的系数为

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15. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象如图所示，其与 $x$ 轴的一个交点坐标为 $(- 3,0)$ ，对称轴为直线 $x = - 1$ ，抛物线与 $x$ 轴的另一个交点坐标为．

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16. 一元二次方程4x(x-2)=x-2的解为。

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17. 点F是正五边形 $A B C D E$ 边 $D E$ 的中点，连接 $B F$ 并延长与 $C D$ 延长线交于点G，则 $∠ B G C$ 的度数为．

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18. 《九章算术》中记载：“今有勾六步，股八步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为6步，股（长直角边）长为8步，则该直角三角形内切圆的直径是等于步．

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三、计算题：本大题共1小题，共6分。

19. 解一元二次方程：x²-4x+3=0

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四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

20. 计算： $- 1^{2} + (\sqrt{3} - π)^{0} - (\frac{1}{2})^{- 1} + \sqrt[3]{- 8}$ ．

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21. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (1,4)$ ， $B (4,2)$ ， $C (3,5)$ ．
⑴画出 $△ A B C$ 关于原点 $O$ 成中心对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $C_{1}$ 的坐标；
⑵将 $△ A B C$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并写出点 $A_{2}$ 的坐标．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 分别交 $A C$ 、 $B C$ 于点 $D$ 、 $E$ ．

(1)、求证： $B E = C E$ ；

(2)、若 $A B = 6$ ， $∠ B A C = 54 °$ ，求 $\overset{⏜}{A D}$ 的长．

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23. 一次足球训练中，小明从球门正前方8m的 $A$ 处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高OB为2.44m，现以 $O$ 为原点建立如图所示直角坐标系.

(1)、求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）。

(2)、对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点 $O$ 正上方2.25m处?

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24. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $E$ 在 $⊙ O$ 上，点 $C$ 是 $\overset{⏜}{B E}$ 的中点， $A E ⊥ C D$ ，垂足为点 $D$ ， $D C$ 的延长线交 $A B$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $C D = \sqrt{3}$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，求线段 $A F$ 的长．

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25. 课堂上，数学老师组织同学们围绕关于 $x$ 的二次函数 $y = x^{2} + 2 a x + a - 3$ 的最值问题展开探究．

(1)、【经典回顾】二次函数求最值的方法．
老师给出 $a = - 4$ ，求二次函数 $y = x^{2} + 2 a x + a - 3$ 的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当 $x$ 取何值时，函数 $y$ 有最小值，并写出此时的 $y$ 值；

(2)、【举一反三】老师给出更多 $a$ 的值，同学们即求出对应的函数在 $x$ 取何值时， $y$ 的最小值 $.$ 记录结果，并整理成如表：
$a$ $\dots$ $- 4$ $- 2$ $0$ $2$ $4$ $\dots$
$x$ $\dots$ $*$ $2$ $0$ $- 2$ $- 4$ $\dots$
$y$ 的最小值 $\dots$ $*$ $- 9$ $- 3$ $- 5$ $- 15$ $\dots$
注： $*$ 为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现 $.$ ”
甲同学：“我发现，老师给了 $a$ 值后，我们只要取 $x = - a$ ，就能得到 $y$ 的最小值 $.$ ”
乙同学：“我发现， $y$ 的最小值随 $a$ 值的变化而变化，当 $a$ 由小变大时， $y$ 的最小值先增大后减小，所以我猜想 $y$ 的最小值中存在最大值”
请结合函数解析式 $y = x^{2} + 2 a x + a - 3$ ，解释甲同学的说法是否合理？

(3)、你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．

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26. 如图 $1$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $A C = 1$ ， $D$ 为 $△ A B C$ 内部的一动点 $($ 不在边上 $)$ ，连接 $B D$ ，将线段 $B D$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $60 °$ ，使点 $B$ 到达点 $F$ 的位置；将线段 $A B$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60 °$ ，使点 $A$ 到达点 $E$ 的位置，连接 $A D$ ， $C D$ ， $A E$ ， $A F$ ， $B F$ ， $E F$ ．

(1)、求证： $△ B D A$ ≌ $△ B F E$ ；

(2)、当 $C D + D F + F E$ 取得最小值时，求证： $A D / / B F$ ；

(3)、如图 $2$ ， $M$ ， $N$ ， $P$ 分别是 $D F$ ， $A F$ ， $A E$ 的中点，连接 $M P$ ， $N P$ ，在点 $D$ 运动的过程中，请判断 $∠ M P N$ 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．

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$a$	$\dots$	$- 4$	$- 2$	$0$	$2$	$4$	$\dots$
$x$	$\dots$	$*$	$2$	$0$	$- 2$	$- 4$	$\dots$
$y$ 的最小值	$\dots$	$*$	$- 9$	$- 3$	$- 5$	$- 15$	$\dots$