浙江省宁波市鄞州中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-04-26 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，多选、错选或不选都给不分.

1. 若方程 $\frac{x^{2}}{25 - m} + \frac{y^{2}}{m + 9} = 1$ 表示椭圆，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 9, 25)$ B、 $(- 9, 8) \cup (8, 25)$ C、 $(8, 25)$ D、 $(8, + \infty)$

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2. “ $m = 1$ ”是“直线 $l_{1}$ ： $(m - 4) x + m y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $m x + (m + 2) y - 2 = 0$ 互相垂直”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ，则异面直线 $A D_{1}$ 与 $D B_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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4. 直线 $x + y + 2 = 0$ 分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P$ 在圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 2$ 上，则 $△ A B P$ 面积的取值范围是（）

A、 $[2 ， 6]$ B、 $[4 ， 8]$ C、 $[\sqrt{2} ， 3 \sqrt{2}]$ D、 $[2 \sqrt{2} ， 3 \sqrt{2}]$

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5. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以 $A B$ 为直径的圆与y轴交于D，E两点，且 $| D E | = \frac{4}{5} | A B |$ ，则直线l的方程为（）

A、 $x \pm \sqrt{3} y - 1 = 0$ B、 $x \pm y - 1 = 0$ C、 $2 x \pm y - 2 = 0$ D、 $x \pm 2 y - 1 = 0$

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6. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, (a > 0, b > 0)$ 右焦点为 $F$ ，离心率为 $e$ ， $\vec{P O} = k \vec{F O}, (k > 1)$ ，以 $P$ 为圆心， $| P F |$ 长为半径的圆与双曲线有公共点，则 $k - 8 e$ 最小值为（）

A、 $- 9$ B、 $- 7$ C、 $- 5$ D、 $- 3$

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7. 如图，平面 $O A B ⊥$ 平面 $α$ ， $O A \subset α$ ， $O A = A B$ ， $∠ O A B = 120 °$ ．平面 $α$ 内一点P满足 $P A ⊥ P B$ ，记直线 $O P$ 与平面 $O A B$ 所成角为 $θ$ ，则 $\tan θ$ 的最大值是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{12}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，经过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A$ ， $B$ ， $△ A B F_{2}$ 的内切圆的圆心为 $I$ ，若 $3 \overset{⃑}{I B} + 4 \overset{⃑}{I A} + 5 \overset{⃑}{I F_{2}} = \overset{⃑}{0}$ ，则该椭圆的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知抛物线 $E ： y^{2} = 4 x$ 上的两个不同的点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 关于直线 $x = k y + 4$ 对称，直线 $A B$ 与 $x$ 轴交于点 $C (x_{0} ， 0)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $E$ 的焦点坐标为 $(1 ， 0)$ B、 $x_{1} + x_{2}$ 是定值 C、 $x_{1} x_{2}$ 是定值 D、 $x_{0} \in (- 2 ， 2)$

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10. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 1$ ，点 $P$ 满足 $\overset{⃑}{B P} = λ \overset{⃑}{B C} + μ \overset{⃑}{B B_{1}}$ ，其中 $λ \in [0, 1]$ ， $μ \in [0, 1]$ ，则（）

A、当 $λ = 1$ 时， $△ A B_{1} P$ 的周长为定值 B、当 $μ = 1$ 时，三棱锥 $P - A_{1} B C$ 的体积为定值 C、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$ ，使得 $A_{1} P ⊥ B P$ D、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$ ，使得 $A_{1} B ⊥$ 平面 $A B_{1} P$

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11. 设 $M$ 为双曲线 $C$ ： $y^{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ 上一动点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为上、下焦点， $O$ 为原点，则下列结论正确的是（）

A、若点 $N (0, 8)$ ，则 $|M N|$ 最小值为7 B、若过点 $O$ 的直线交 $C$ 于 $A, B$ 两点（ $A, B$ 与 $M$ 均不重合），则 $k_{M A} k_{M B} = \frac{1}{3}$ C、若点 $Q (8, 1)$ ， $M$ 在双曲线 $C$ 的上支，则 $|M F_{2}| + |M Q|$ 最小值为 $2 + \sqrt{65}$ D、过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $G$ 、 $H$ 不同两点，若 $|G H| = 7$ ，则 $l$ 有4条

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12. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马 $P - A B C D$ 中，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P D = C D = A D = 2$ ， $M, N, G$ 分别为 $P A, P C, P B$ 的中点，则（）

A、四面体 $N - B C D$ 是鳖臑 B、 $C G$ 与 $M N$ 所成角的余弦值是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、点 $G$ 到平面 $P A C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、过点 $M, N, B$ 的平面截四棱锥 $P - A B C D$ 的截面面积为 $\frac{2 \sqrt{11}}{3}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知点 $P$ 是圆 $C$ ： $(x - 2)^{2} + y^{2} = 64$ 上动点， $A (- 2 ， 0)$ .若线段 $P A$ 的中垂线交 $C P$ 于点 $N$ ，则点 $N$ 的轨迹方程为.

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14. 如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD= $\sqrt{5}$ ， ∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是．

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15. 已知直线 $l$ 过抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ ，与抛物线交于 $A$ 、 $B$ 两点，线段 $A B$ 的中点为 $M$ ，过 $M$ 作 $M N$ 垂直于抛物线的准线，垂足为 $N$ ，则 $\frac{32}{|A B|} + \frac{{|N F|}^{2}}{4}$ 的最小值是.

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16. 已知点 $P$ 在 $y = \sqrt{x^{2} + 1}, x \in [- 1, \sqrt{3}]$ 上运动，点 $Q$ 在圆 $C : x^{2} + {(y - a)}^{2} = \frac{3}{4} (a > 0)$ 上运动，且 $|P Q|$ 最小值为 $\frac{3}{2} \sqrt{3}$ ，则实数 $a$ 的值为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知点 $A (- 1, 0)$ 和点 $B$ 关于直线 $l$ ： $x + y - 1 = 0$ 对称．
（1）若直线 $l_{1}$ 过点 $B$ ，且使得点 $A$ 到直线 $l_{1}$ 的距离最大，求直线 $l_{1}$ 的方程；
（2）若直线 $l_{2}$ 过点 $A$ 且与直线 $l$ 交于点 $C$ ， $△ A B C$ 的面积为2，求直线 $l_{2}$ 的方程．

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18. 已知圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ ，直线 $l ： (2 m + 1) x + (m + 1) y - 7 m - 4 = 0$ ， $(m \in R)$ ．

(1)、证明：不论 $m$ 取什么实数，直线 $l$ 与圆恒交于两点；

(2)、求直线被圆 $C$ 截得的弦长最小时 $l$ 的方程．

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19. 如图，已知 $A B C D$ 和 $C D E F$ 都是直角梯形， $A B / / D C$ ， $D C / / E F$ ， $A B = 5$ ， $D C = 3$ ， $E F = 1$ ， $∠ B A D = ∠ C D E = 60 °$ ，二面角 $F - D C - B$ 的平面角为 $60 °$ ．设M，N分别为 $A E, B C$ 的中点．

(1)、证明： $F N ⊥ A D$ ；

(2)、求直线 $B M$ 与平面 $A D E$ 所成角的正弦值．

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20. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} − \frac{y^{2}}{b^{2}} =1$ 经过点 $(2,−3)$ ，两条渐近线的夹角为 $6 0^{∘}$ ，直线 $l$ 交双曲线于 $A, B$ 两点.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程.

(2)、若动直线 $l$ 经过双曲线的右焦点 $F_{2}$ ，是否存在 $x$ 轴上的定点 $M (m,0)$ ，使得以线段 $A B$ 为直径的圆恒过 $M$ 点？若存在，求实数 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

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21. 如图①所示，长方形 $A B C D$ 中， $A D = 1$ ， $A B = 2$ ，点 $M$ 是边 $C D$ 的中点，将 $△ A D M$ 沿 $A M$ 翻折到 $△ P A M$ ，连接 $P B$ ， $P C$ ，得到图②的四棱锥 $P - A B C M$ ．

(1)、求四棱锥 $P - A B C M$ 的体积的最大值；

(2)、若棱 $P B$ 的中点为 $N$ ，求 $C N$ 的长；

(3)、设 $P - A M - D$ 的大小为 $θ$ ，若 $θ \in (0, \frac{π}{2}]$ ，求平面 $P A M$ 和平面 $P B C$ 夹角余弦值的最小值．

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22. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点为 $F (3 ， 0)$ ， F到其中一条渐近线的距离为2.

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、过F的直线交曲线C于A，B两点（其中A在第一象限），交直线 $x = \frac{5}{3}$ 于点M，
（i）求 $\frac{| A F | \cdot | B M |}{| A M | \cdot | B F |}$ 的值；
（ii）过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明： $| M P | = | P Q |$ .

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