沪科版数学九年级上册二次函数与反比例函数综合素养检测

试卷更新日期：2024-09-20 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 二次函数y=ax²+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数 $y = \frac{c}{x}$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

三、解答题

2. 如图，已知二次函数y=x²+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．

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3. 如图，某市青少年活动中心的截面由抛物线的一部分和矩形组成，其中 $O A = 20$ 米， $O C = 7$ 米，最高点 $P$ 离地面的距离为9米，以地面 $O A$ 所在直线为 $x$ 轴， $O C$ 所在直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、暑期来临之际，该活动中心工作人员设计了6米长的竖状条幅从顶棚拋物线部分悬挂下来（条幅的宽可忽略不计），为了安全起见，条幅最低处不能低于底面上方2米．设条幅与 $O C$ 的水平距离为 $m$ 米，求出 $m$ 的取值范围．

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4. 陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和土气息．如图所示，某窑洞口的下部近似为矩形 $O A B C$ ，上部近似为一条抛物线．已知 $O A = 3$ 米， $A B = 2$ 米，窑洞的最高点 $M$ (抛物线的顶点)高地面 $O A$ 的距离为 $\frac{25}{8}$ 米．

(1)、建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；

(2)、若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户 $D E F G$ ，使得点 $D 、 E$ 在矩形 $O A B C$ 的边 $B C$ 上，点 $F 、 G$ 在抛物线上，那么这个正方形窗户 $D E F G$ 的边长为多少米？

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5. 在二次函数 $y = x^{2} - 2 t x + 3 (t > 0)$ 中，

(1)、若它的图象过点 $(2, 1)$ ，则t的值为多少？

(2)、当 $0 \leq x \leq 3$ 时，y的最小值为 $- 2$ ，求出t的值：

(3)、如果 $A (m - 2, a), B (4, b), C (m, a)$ 都在这个二次函数的图象上，且 $a < b < 3$ ，求m的取值范围．

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6. 设二次函数 $y_{1} = a x^{2} - 4 x + c$ （a，c是常数）的图象与x轴有交点．

(1)、若图象与x轴交于A，B两点的坐标分别为 $(1 ， 0) ， (3 ， 0)$ ，求函数 $y_{1}$ 的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．

(2)、若图象与x轴只有一个交点，且过 $(a ， c)$ ，求此时a，c的值．

(3)、已知 $a = 1$ ，若函数 $y_{1}$ 的表达式还可以写成 $y_{1} = (x - m) (x - n)$ （m，n为常数， $m \neq n$ 且 $m n = 2$ ），设二次函数 $y_{2} = - (x - m) (x - n)$ ，求 $y_{1} - y_{2}$ 的最小值．

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7. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过 $A (- 1, 0), C (0, 3)$ 两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求 $M H + D H$ 的最小值；

(3)、若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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