云南省文山壮族苗族自治州丘北县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-11-11 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1. 下列是一元二次方程的是（）

A、 $x + y = 1$ B、 $x^{2} + 2 = 0$ C、 $2 x^{2} - y = 1$ D、 $x^{2} + \frac{1}{x} = 1$

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2. 下列图形中不一定是相似图形的是（）

A、两个等边三角形 B、两个等腰直角三角形 C、两个正方形 D、两个长方形

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3. 下列说法中错误的是（）

A、一组邻边相等的矩形是正方形 B、一组邻边相等的平行四边形是菱形 C、一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

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4. 同时抛掷两枚质量均匀的硬币，恰好一枚正面朝上、一枚反面朝上的概率是（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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5. 关于x的一元二次方程x²+（k-3）x-2k＝0的根的情况是（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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6. 一个盒子中装有a个白球和3个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在80%左右，则a的值约为（）

A、9 B、12 C、15 D、18

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7. 在一幅比例尺为 $1 : 1000000$ 的地图上，量得某座大桥长 $5.5$ 厘米，这座大桥的实际长度是（）

A、55米 B、10千米 C、55千米 D、 $5.5$ 千米

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8. 如图，将矩形 $A B C D$ 绕点A旋转一个角度得到 $A B_{1} C_{1} D_{1}$ ，使得点 $D_{1}$ 恰好落在 $B C$ 边上，若 $A D = 2 A B = 4$ ，则 $C D_{1}$ 的长为（）

A、1 B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4 - 2 \sqrt{3}$

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9. 若a、b是菱形 $A B C D$ 的两条对角线的长，且a、b是一元二次方程 $x^{2} - 14 x + 48 = 0$ 的两个根，则菱形 $A B C D$ 的边长为（）

A、4 B、5 C、 $\sqrt{13}$ D、10

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10. 如图，点 $D$ 在 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上，添加一个条件，不能判断 $△ A B C$ 与 $△ B D C$ 相似的是（）

A、 $∠ C B D = ∠ A$ B、 $\frac{B C}{A C} = \frac{C D}{A B}$ C、 $∠ C B A = ∠ C D B$ D、 $\frac{B C}{A C} = \frac{C D}{B C} = \frac{D B}{A B}$

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11. 要组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．如果共有x个队参赛，为了求出x，根据题意可列方程（）

A、 $x (x +1) =4×7$ B、 $x (x −1) =4×7$ C、 $\frac{1}{2} x (x +1) =4×7$ D、 $\frac{1}{2} x (x −1) =4×7$

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12. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 、H分别是 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 的中点， $C E$ 、 $D F$ 交于点G，连接 $A G$ ，下列结论中，不正确的是（）

A、 $C E = D F$ B、 $C E ⊥ D F$ C、 $G H = \frac{1}{2} A D$ D、 $△ A D G$ 是等边三角形

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二、填空题（本大题共4小题，每小题2分共8分）

13. 如果 $\frac{b}{a - b} = \frac{3}{2}$ ，那么 $\frac{a}{b}$ ＝．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，若 $∠ A C B = 90 °$ ，点D是 $A B$ 的中点， $A B = 4$ ，则 $C D$ 的长度是．

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15. 若关于x的方程x²+bx+6＝0的一个根是3，则b的值为．

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16. 如图，已知菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点，若 $O E = 3$ ，则菱形的周长为．

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三、解答题（本大题共8小题，共56分）

17. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 4 x = 4$ ；

(2)、 $(x + 2) (x + 1) = 12$ ．

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18. 如图，D、E、F分别是 $△ A B C$ 的 $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$ 边上的点，且 $D E ∥ B C$ ， $E F ∥ A B$ ，求证： $△ A D E ∽ △ E F C$ ．

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19. 随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车业进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，八月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础下，九月、十月的全天包车数持续走高，十月份的全天包车数达到64次．若从八月份到十月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率．

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20. 如图，佳佳同学正在使用手电筒进行物理光学实验，水平地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度 $D E = 3.5 m$ ，点F到地面的高度 $C F = 1.5 m$ ，灯泡到木板的水平距离 $A C = 5.4 m$ ，木板到平面镜的水平距离 $B C = 3 m$ ，已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，求灯泡到地面的高度 $A G$ ．

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21. 在一个不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出一个乒乓球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出一个乒乓球，记下数字．

(1)、用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；

(2)、求两次摸到乒乓球上的数字之和是奇数的概率．

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22. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C$ ， $A B = C D$ ，对角线 $A C 、 B D$ 交于点 $O$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A B$ 交 $A B$ 延长线于点 $E$ ，且 $∠ A B O = ∠ A C E$ ，连接 $O E$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是菱形；

(2)、若 $C E = 3 \sqrt{3}$ ， $∠ A D C = 120 °$ ，求菱形 $A B C D$ 的面积．

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23. 已知实数 $a$ 、 $b$ 满足 $(2 a^{2} + b^{2} + 1) (2 a^{2} + b^{2} - 1) = 80$ ，试求 $2 a^{2} + b^{2}$ 的值．
解：设 $2 a^{2} + b^{2} = m$ ，则原方程可化为 $(m + 1) (m - 1) = 80$ ，即 $m^{2} = 81$ ，
解得： $m = \pm 9$ ，
∵ $2 a^{2} + b^{2} \geq 0$ ，
∴ $2 a^{2} + b^{2} = 9$ ，
上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂问题简单化．
根据以上阅读材料，解决下列问题：

(1)、已知实数 $x$ 、 $y$ 满足 $(2 x^{2} + 2 y^{2} - 1) (x^{2} + y^{2}) = 3$ ，求 $3 x^{2} + 3 y^{2} - 2$ 的值；

(2)、若四个连续正整数的积为 $120$ ，求这四个正整数．

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24. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点O， $O A = O C$ ， $O B = O D$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 6 cm, B C = 12 cm$ ，动点P从点A出发沿着边 $A B$ 向点B以 $1 cm/s$ 的速度运动，同时动点Q从点B出发沿着边 $B C$ 向点C以 $2 cm/s$ 的速度运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设运动时间为 $t s$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是矩形；

(2)、是否存在某一时刻，使得以B、P、Q为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

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