浙江省舟山市定海区金衢山等校2024-2025学年九年级上学期开学检测数学试题

试卷更新日期：2024-09-18 类型：开学考试

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一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）

1. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + b x - 10 = 0$ 的一个根为2，则 $b$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、2 C、3 D、7

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2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x + 1 = 0$ 用配方法解方程，配方结果是（）

A、 ${(x + \frac{3}{4})}^{2} = \frac{1}{16}$ B、 $2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{1}{8}$ C、 ${(x + \frac{3}{4})}^{2} = \frac{1}{8}$ D、 ${(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{16} = - 1$

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4. 将矩形 $A B C D$ 和菱形 $A F D E$ 按如图放置，若图中矩形面积是菱形面积的 $2$ 倍，则下列结论正确的是（）

A、 $∠ E A F = 60 °$ B、 $A B = A F$ C、 $A D = 2 A B$ D、 $A B = E F$

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5. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升 $20 ℃$ ，加热到 $100 ℃$ ，停止加热，水温开始下降，此时水温 $y (℃)$ 与通电时间 $x (min)$ 成反比例关系．当水温降至 $20 ℃$ 时，饮水机再自动加热，若水温在 $20 ℃$ 时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　）

A、水温从 $20 ℃$ 加热到 $100 ℃$ ，需要 $4 min$ B、水温下降过程中，y与x的函数关系式是 $y = \frac{400}{x}$ C、上午10点接通电源，可以保证当天 $10 : 30$ 能喝到不低于 $38 ℃$ 的水 D、在一个加热周期内水温不低于 $40 ℃$ 的时间为 $7 min$

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6. 二次函数 $y = c x^{2} - 4 x + 2 c$ 的图象的最高点在 $x$ 轴上，则 $c$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $\pm \sqrt{2}$ D、 $\pm 2$

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7. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为常数， $a \neq 0$ ）的图象如图所示，则a，b，c的值可能是（）

A、 $a = - 1$ ， $b = 2$ ， $c = 3$ B、 $a = - 1$ ， $b = 2$ ， $c = - 3$ C、 $a = - 1$ ， $b = - 2$ ， $c = 3$ D、 $a = 1$ ， $b = - 2$ ， $c = - 3$

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8. 已知二次函数 $y = - x^{2} - 2 x + 3$ ，当 $a \leq x \leq \frac{1}{2}$ 时，函数值y的最小值为1，则a的值为（）

A、 $- \sqrt{3} - 1$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $- \sqrt{3} - 1$ 或 $\sqrt{3} - 1$ D、 $- \sqrt{3} + 1$ 或 $\sqrt{3} + 1$

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9. 已知点M是抛物线 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} + m - 1$ （m为常数）的顶点，直线 $y = x + 3$ 与坐标轴分别交于 $A, B$ 两点，则 $△ A B M$ 的面积为（）

A、 $6 \sqrt{2}$ B、6 C、4 D、 $3 \sqrt{2}$

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10. 已知等腰直角 $△ A B C$ 的斜边 $A B = 4 \sqrt{2}$ ，正方形 $D E F G$ 的边长为 $\sqrt{2}$ ，把 $△ A B C$ 和正方形 $D E F G$ 如图放置，点 $B$ 与点 $E$ 重合，边 $A B$ 与 $E F$ 在同一条直线上，将 $△ A B C$ 沿 $A B$ 方向以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位的速度匀速平行移动，当点 $A$ 与点 $E$ 重合时停止移动．在移动过程中， $△ A B C$ 与正方形 $D E F G$ 重叠部分的面积 $S$ 与移动时间 $t (s)$ 的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）

11. 要使式子 $\sqrt{t - 3}$ 有意义，则 $t$ 的取值范围是．

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12. 已知 $m, n$ 是方程 $x^{2} + 4 x - 3 = 0$ 的两个实数根，则 $m^{2} + 5 m + n + 2024$ 的值是．

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13. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， …， $x_{10}$ 的平均数 $= a$ ，求 $x_{1} + 1$ ， $x_{2} + 2$ ， …， $x_{10} + 10$ 的平均数为．

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14. 如图，在矩形 $F C B G$ 中，点 $A$ 在 $C F$ 上， $B C = 8$ ， $F C = 6$ ，将 $△ A C B$ 沿直线 $A B$ 翻折至 $△ A E B$ 的位置，使得点 $E$ 在边 $F G$ 上，作 $E D ⊥ A B$ 于点 $D$ ， $H$ 为 $E G$ 的中点，连接 $D H$ ．则 $D H =$ ．

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15. 如图，已知 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， …， $A_{n}$ 是x轴上的点，且 $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = \cdot \cdot \cdot = A_{n - 1} A_{n} = 1$ ，分别过点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， …， $A_{n}$ ，作x轴的垂线交反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象于点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ ， …， $B_{n}$ ，过点 $B_{2}$ 作 $B_{2} P_{1} ⊥ A_{1} B_{1}$ 于点 $P_{1}$ ，过点 $B_{3}$ 作 $B_{3} P_{2} ⊥ A_{2} B_{2}$ 于点 $P_{2}$ ， …，记 $△ B_{1} P_{1} B_{2}$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ B_{2} P_{2} B_{3}$ 的面积为 $S_{2}$ ， …， $△ B_{n} P_{n} B_{n + 1}$ 的面积为 $S_{n}$ ，则 $S_{1} + S_{2} + S_{3} + \cdot \cdot \cdot + S_{2024}$ 等于．

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16. 如图，抛物线 $y = x^{2}$ 在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ … $A_{n}$ ，将抛物线 $y = x^{2}$ 沿直线 $L$ ： $y = x$ 向上平移，得到一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点 $M_{1}$ ， $M_{2}$ ， $M_{3}$ … $M_{n}$ ，都在直线 $L$ ： $y = x$ 上；②抛物线依次经过点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ … $A_{n}$ ；则顶点 $M_{2024}$ 的坐标为．

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三、解答题

17. （1）先化简 $(1 - \frac{3}{a + 2}) \div \frac{a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} - 4}$ ，再从 $- 3 < a < 3$ 中选取一个你喜欢的整数a的值代入求值；
（2）已知 $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$ 的整数部分为a，小数部分为b，求 $\sqrt{a} - b$ 的值．

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18. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点E为 $B C$ 上一点，连接 $A E$ 并延长交 $D C$ 的延长线于点F， $A D = D F$ ，连接 $D E$ ．

(1)、求证： $A E$ 平分 $∠ B A D$ ；

(2)、若点E为 $B C$ 中点， $∠ B = 60 °$ ， $A D = 5$ ，求 $▱ A B C D$ 的周长．

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19. 我们已经历了“一次函数”的学习过程，请你根据已有的经验和方法结合假期的预习尝试完成下列问题：
已知：二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 中的 $x$ 和 $y$ 满足下表：
$x$
⋯
0
1
2
3
4
5
⋯
$y$
⋯
3
0
$- 1$
0
$m$
8
⋯

(1)、可求得 $m$ 的值为________；

(2)、求出这个二次函数的解析式；

(3)、画出函数图象；

(4)、当 $- 1 < x < 3$ 时，则 $y$ 的取值范围为________．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ E C D$ 中， $∠ A C B = ∠ E C D = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $C E = C D$ ， $D$ 为 $A B$ 边上一点．

(1)、求证： $A E = B D$

(2)、若点 $D$ 是 $A B$ 的中点，求证：四边形 $A E C D$ 是正方形．

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21. 3月21日是世界睡眠日，某社区为了了解该社区居民的睡眠情况，随机抽取若干名居民对其每日的睡眠时间x（时）进行调查，将调查结果进行整理后分为四组：A组（ $x < 4$ ），B组（ $4 \leq x < 6$ ），C组（ $6 \leq x < 8$ ），D组（ $x \geq 8$ ），并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请你根据所给信息，解答下列问题：

(1)、补全条形统计图；在扇形统计图中， $m =$ ______．

(2)、此次调查中，居民每日的睡眠时间的中位数落在_______组．

(3)、若该社区共有4200名居民﹐请你估计这个社区有多少名居民每日的睡眠时间在6小时及以上．

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22. 宜昌某农副加工厂2023年年初投入80万元经销某种农副产品，由于物美价廉，在惠农网商平台推广下，该产品火爆畅销全国各地．已知该产品的成本为20元/件，经市场调查发现，该产品的销售单价定为25元到30元之间较为合理，该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足一种函数关系，售价x（元/件）与y（万件）的对应关系如表：
x
…
20
26
28
31
35
…
y
…
20
14
12
9
5
…

(1)、求该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式；

(2)、2023年年底该工厂共盈利16万元，2024年国家惠农政策力度更大，生产技术也有所提高，使得该特产的成本平均每件减少了1元．
①求2023年该特产的售价；
②该产品2024年售价定为多少时，工厂利润最大? 最大利润是多少?

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23. 【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点 $A (x, y)$ 是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“ $y - x$ ”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点 $A (1, 3)$ 在函数 $y = 2 x + 1$ 图象上．点 $A (1, 3)$ 的“纵横值”为 $y - x = 3 - 1 = 2$ ；函数 $y = 2 x + 1$ 图象上所有点的“纵横值”可以表示为 $y - x = 2 x + 1 - x = x + 1$ ，当 $3 \leq x \leq 6$ 时， $x + 1$ 的最大值为 $6 + 1 = 7$ ，所以函数 $y = 2 x + 1 (3 \leq x \leq 6)$ 的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：

(1)、①点 $B (- 6, 2)$ 的“纵横值”为；
②求出函数 $y = \frac{4}{x} + x (2 \leq x \leq 4)$ 的“最优纵横值”；

(2)、若二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的顶点在直线 $x = \frac{3}{2}$ 上，且最优纵横值为5，求c的值；

(3)、若二次函数 $y = - x^{2} + (2 b + 1) x - b^{2} + 3$ ，当 $- 1 \leq x \leq 4$ 时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $C_{1} : y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (0, 2), B (2, 2)$ ，顶点为 $D$ ；抛物线 $C_{2} : y = x^{2} - 2 m x + m^{2} - m + 2 (m \neq 1)$ ，顶点为 $Q$ ．

(1)、求抛物线 $C_{1}$ 的表达式及顶点 $D$ 的坐标；

(2)、如图1，连接 $A D$ ，点 $E$ 是拋物线 $C_{1}$ 对称轴右侧图象上一点，点 $F$ 是拋物线 $C_{2}$ 上一点，若四边形 $A D F E$ 是面积为12的平行四边形，求 $m$ 的值；

(3)、如图2，连接 $B D, D Q$ ，点 $M$ 是抛物线 $C_{1}$ 对称轴左侧图像上的动点（不与点 $A$ 重合），过点 $M$ 作 $M N$ $∥$ $D Q$ 交 $x$ 轴于点 $N$ ，连接 $B N, D N$ ，求 $△ B D N$ 面积的最小值．

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$x$	⋯	0	1	2	3	4	5	⋯
$y$	⋯	3	0	$- 1$	0	$m$	8	⋯

x	…	20	26	28	31	35	…
y	…	20	14	12	9	5	…