湖南省岳阳市岳阳县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2022-11-29 类型：期中考试

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一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）

1. 已知非零实数a，b，c，d满足 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ，则下面关系中成立的是（　　）

A、 $\frac{a}{d} = \frac{c}{b}$ B、 $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ C、ac＝bd D、 $\frac{a + 1}{b} = \frac{c + 1}{d}$

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2. 关于反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象，下列说法正确的是（）

A、点 $(- 2, 1)$ 在它的图象上 B、它的图象经过原点 C、它的图象在第一、三象限 D、当 $x > 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大

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3. 一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的根的情况（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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4. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）

A、168（1+x）²=128 B、168（1﹣x）²=128 C、168（1﹣2x）=128 D、168（1﹣x²）=128

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5. 如图，下列条件中不能判断 $△ A C D$ 和 $△ A B C$ 相似的是（）

A、 $∠ A C D = ∠ B$ B、 $∠ A C B = ∠ A D C$ C、 $\frac{A C}{C D} = \frac{A B}{B C}$ D、 $A C^{2} = A D \cdot A B$

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6. 已知m是方程 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 的一个根，则代数式 $4 m^{2} + 8 m - 3$ 的值是（　　）

A、4 B、3 C、2 D、1

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7. 如图， $△ ABC$ 是等边三角形，被一平行于 $BC$ 的矩形所截(即：FG∥BC)，若AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是 $△ ABC$ 的面积的（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{4}{9}$

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8. 如图，反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象与一次函数y＝kx﹣b的图象交于点P，Q，已点P的坐标为（4，1），点Q的纵坐标为﹣2，根据图象信息可得关于x的方程 $\frac{m}{x}$ ＝kx﹣b的解为（　　）

A、﹣2，﹣2 B、﹣2，4 C、﹣2，1 D、4，1

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二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）

9. 方程x²= 3x的解是.

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10. 若 $2 x = 5 y$ ，且 $x \neq 0$ ， $y \neq 0$ ，则 $\frac{x + y}{x} =$ ．

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11. 反比例函数 $y = \frac{3 - m}{x}$ 的图象在第二、四象限，则m的取值范围是.

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12. 已知 $△ A B C ∽ △ D E F$ ， $△ A B C$ 的周长为3， $△ D E F$ 的周长为1，则 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 的面积之比为．

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13. 如图，若反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＜0）的图像经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝．

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14. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 12$ ，点E在边 $C D$ 上，连接 $B E$ 交 $A D$ 的延长线于点F，若 $D E = 3$ ，则 $D F$ 的长为．

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15. 一个三角形的两边长为4和6，第三边的边长是方程 $x (x - 5) - 2 (x - 5) = 0$ 的根，则这个三角形的周长为．

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16. 如图，点 $A$ 在线段 $B D$ 上，在 $B D$ 的同侧作等腰 $Rt △ A B C$ 和等腰 $Rt △ A D E ， C D$ 与 $B E, A E$ 分别交于点 $P$ 、 $M$ ．
①若 $B E = 6$ ，则 $C D =$ ；
②若 $M P = 1.2 ， M D = 10 ， A D = 8$ $\sqrt{2}$ ；且 $M E > M A$ ，则 $A P =$ ．

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三、解答题（本大题共8小题，满分64分）

17. 解方程：2x²﹣x﹣1＝0．

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18. 如图， $∠ C = ∠ E = 90 ° ， A C = 3 ， B C = 4 ， A E = 2$ ，

(1)、证明： $△ A C B ∽ △ A E D$ ；

(2)、求 $D E$ 的值．

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19. 已知 $▱ A B C D$ 的两邻边 $A B 、 A D$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - m x + \frac{m}{2} - \frac{1}{4} = 0$ 的两个实数根．

(1)、若 $A B$ 的长为 $2$ ，求 $m$ 的值；

(2)、当 $m$ 为何值时， $▱ A B C D$ 是菱形？

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20. 已知一次函数y= $\frac{2}{3}$ x+2的图象分别与坐标轴相交于A、B两点（如图所示），与反比例函数 $y= \frac{k}{x}$ （x＞0）的图象相交于C点．
（1）写出A、B两点的坐标；
（2）作CD⊥x轴，垂足为D，如果OB是△ACD的中位线，求反比例函数 $y= \frac{k}{x}$ （x＞0）的关系式．

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21. 如果关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程 $x^{2} - 9 x + 18 = 0$ 的两个根是3和6，则方程 $x^{2} - 9 x + 18 = 0$ 就是“倍根方程”．

(1)、根据上述定义，一元二次方程 $2 x^{2} + x - 1 = 0$ （填“是”或“不是”）“倍根方程”．

(2)、若 $(x - 1) (m x - n) = 0 (m \neq 0)$ 是“倍根方程”，求 $\frac{n}{m}$ 的值；

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22. 如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm²的有盖的长方体铁盒，求剪去的正方形的边长．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = A C = 5$ ， $B C = 6$ ，且 $△ A B C ≌ △ D E F$ ，将 $△ D E F$ 与 $△ A B C$ 重合在一起， $△ A B C$ 不动， $△ D E F$ 运动，并满足：点 $E$ 在边 $B C$ 上沿 $B$ 到 $C$ 的方向运动，且 $D E$ 始终经过点A，EF与 $A C$ 交于 $M$ 点．

(1)、求证： $△ A B E ∽ △ E C M$ ；

(2)、当点 $E$ 运动到边 $B C$ 的中点时，求 $A M$ 的长；

(3)、探究：在 $△ D E F$ 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出 $B E$ 的长；若不能，请说明理由．

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24. 已知点A（a，m）在双曲线y= $\frac{8}{x}$ 上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为B．
（1）如图1，当a=﹣2时，P（t，0）是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C，
①若t=1，直接写出点C的坐标；
②若双曲线y= $\frac{8}{x}$ 经过点C，求t的值．
（2）如图2，将图1中的双曲线y= $\frac{8}{x}$ （x＞0）沿y轴折叠得到双曲线y=﹣ $\frac{8}{x}$ （x＜0），将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y=﹣ $\frac{8}{x}$ （x＜0）上的点D（d，n）处，求m和n的数量关系．

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