浙江省衢州市衢江区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-11-29 类型：期中考试

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1. 下面图形分别是绿色食品标志、节水、质量安全和循环回收，其中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）

A、1 B、2 C、3 D、8

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3. 下面数轴上所表示的不等式正确的是（）

A、 $x > 1$ B、 $x \leq 4$ C、 $1 \leq x < 4$ D、 $1 < x \leq 4$

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4. 如图，用三角板作 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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5. 如果 $x < y$ ，下列各式中不正确的是（）

A、 $x + 5 < y + 5$ B、 $x - 5 < y - 5$ C、 $5 x < 5 y$ D、 $- 5 x < - 5 y$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若 $A B = 5$ ， $A C = 7$ ，则 $△ A B D$ 的周长为（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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7. 下列命题的逆命题是假命题的是（）

A、两直线平行，同位角相等； B、对顶角相等； C、如果 $|a| = |b|$ ，那么 $a = b$ ； D、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 70 °$ ，沿图中虚线截去 $∠ C$ ，则 $∠ 1 + ∠ 2$ 的度数为（）

A、 $180 °$ B、 $220 °$ C、 $250 °$ D、 $290 °$

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9. 如图， $Rt △ O A B$ 的直角边 $O A = 2$ ， $A B = 1$ ， $O A$ 在数轴上，在 $O B$ 上截取 $B C = B A$ ，以原点O为圆心， $O C$ 为半径画弧，交数轴于点P，则 $O P$ 的中点D对应的实数是（）

A、 $3 - \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{5} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\sqrt{5} - 2$

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10. 如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 5$ ， $B C = 12$ ，分别以 $A B, A C, B C$ 为边在 $A B$ 的同侧作正方形 $A B E F, A C P Q, B C M N$ ，四块阴影部分的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 、 $S_{4}$ 则 $S_{1} - S_{2} + S_{3} + S_{4}$ 等于（）

A、25 B、30 C、60 D、72

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二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）

11. 用不等式表示：x与2的和大于6，则这个不等式是．

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12. 已知在 $Rt △ A B C$ 中，斜边是的中线 $C D = 3 cm$ ，则斜边 $A B =$ ．

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13. 已知等腰三角形的两边长分别为 $1 cm$ ， $4 cm$ ，则它的周长是．

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14. 如图，已知∠ACB=∠DBC，请添加一个条件，使得△ABC≌△DCB．

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15. 如图是一副三角尺拼成的图案，求∠ AEB 的度数．

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16. 如图，AD是 $△ A B C$ 的角平分线， $D E ⊥ A B$ ，垂足为E，若 $D E = 2$ ， $A C = 4$ ，则 $△ A D C$ 的面积为．

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17. 如图，在等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C = 13$ ， $B C = 10$ ， $A B$ 的垂直平分线 $E F$ 交 $A C$ 于点F，若点D为 $B C$ 边上的中点，M为 $E F$ 上的动点，则 $B M + D M$ 的最小值为．

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18. 已知 $△ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ，在图（1）中 $∠ A B C$ 、 $∠ A C B$ 的角平分线交于点 $O_{1}$ ，则计算可得 $∠ B O_{1} C = 120 °$ ；

（1）在图（2）中，设 $∠ A B C$ 、 $∠ A C B$ 的两条三等分角线分别对应交于 $O_{1}$ 、 $O_{2}$ ，得到 $∠ B O_{2} C$ 则 $∠ B O_{2} C =$ ；
（2）在图（3）中请你猜想，当 $∠ A B C$ 、 $∠ A C B$ 同时n等分时， $(n - 1)$ 条等分角线分别对应交于 $O_{1}$ 、 $O_{2}$ $\dots$ $O_{n - 1}$ ，则 $∠ B O_{n - 1} C =$ （用含n的代数式表示）．

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三、解答题（本题有6小题，共46分．请在答题纸的相应位置写出解题过程）

19. 如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画一个三角形，使它的顶点都在小正方形的顶点上．

(1)、在图甲中画一个以 $A B$ 为边且面积为3的直角三角形；

(2)、在图乙中画一个使 $A C$ 为腰的等腰三角形．

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20. 如图， $A B ， C D$ 相交于点O， $A D = C B$ ， $∠ A = ∠ C$ ，连接 $A D ， B C$ ，求证： $O A = O C$ ．

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21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：BE＝CF．

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22. 学过《勾股定理》后，某数学兴趣小组来到操场上测量旗杆 $A B$ 的高度．测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1），将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离 $C D$ 为1米，到旗杆的距离 $C E$ 为6米（如图2）．

(1)、若旗杆的高度 $A B = x$ 米，那么绳子的长度可以表示为________米（用含x的代数式表示）

(2)、求旗杆 $A B$ 的高度．

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23. 如图，在四边形 $A C E D$ 中， $∠ C = ∠ E = 90 °$ ， $B C = a$ ， $A C = b$ ， $A B = B D = c$ ， $A D = \sqrt{2} c$

(1)、求证： $∠ A B D = 90 °$ ；

(2)、求证： $D E = a$ ， $B E = b$ ；

(3)、求证： $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ （提示：尝试用两种不同的方法表示梯形 $A C E D$ 的面积）；

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24. 如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的左侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接BE．

(1)、当点D在线段BC上时，求证：△ABE≌△ACD．

(2)、如图2，若 $B E ∥ A C$ ， BC＝2．
①求△ABC的面积．
②在点D在运动过程中，若△ABE的最小角为25°，求∠EAC的度数．

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