浙江省衢州市衢江区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-11-30 类型：期中考试

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分．

1. 下列事件是必然事件的是（）

A、明天太阳从西边升起 B、掷出一枚硬币，正面朝上 C、打开电视机，正在播放“新闻联播” D、任意画一个三角形，它的内角和等于180°

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2. 下列各点在抛物线 $y = 2 x^{2}$ 上的是（）

A、 $(2 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(1 ， - 2)$ D、 $(- 1 ， - 2)$

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3. 已知 $⊙ O$ 的半径为 $3$ 厘米，当 $O A = 4$ 厘米时，点 $A$ 与 $⊙ O$ 的位置关系是（）

A、点A在 $⊙ O$ 外 B、点A在 $⊙ O$ 上 C、点A在 $⊙ O$ 内 D、不能确定

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4. 下列杭州亚运会体育图标中，由如图所示图标旋转得到的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 为了解某地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下：
身高 $x / cm$
$x < 160$
$160 \leq x < 170$
$170 \leq x < 180$
$x \geq 180$
人数
59
261
557
123
根据统计，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于 $170 c m$ 的概率是（）

A、0.32 B、0.55 C、0.68 D、0.87

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6. 要得到二次函数 $y = - {(x - 2)}^{2} - 2$ 的图象，需将 $y = - x^{2}$ 的图象平移的方式为（）

A、向右2个单位，再向下2个单位 B、向左2个单位，再向下2个单位 C、向左2个单位，再向上2个单位 D、向右2个单位，再向上2个单位

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7. 如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且 $⊙ O$ 被水面截得弦 $A B$ 长为4米， $⊙ O$ 半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦 $A B$ 所在直线的距离是（）

A、1米 B、2米 C、 $(3 - \sqrt{5})$ 米 D、 $(3 + \sqrt{5})$ 米

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8. 对于二次函数 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + x - 4$ ，下列说法正确的是（）

A、当x>0，y随x的增大而增大 B、当x=2时，y有最大值－3 C、图像的顶点坐标为（－2，－7） D、图像与x轴有两个交点

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9. 某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为（）

A、 $y = x (100 - x)$ B、 $y = x (100 - 6 x)$ C、 $y = (100 - x) (15 + x)$ D、 $y = (100 - 6 x) (15 + x)$

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10. 抛物线 $y = a {(x - 1)}^{2} - 2 (a \neq 0)$ ，当 $- 1 \leq x \leq 2$ 时， $y$ 的最大值与最小值的差为 $3$ ，则 $a$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ 或 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$ 或 $- \frac{3}{4}$

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二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11. 抛物线 $y = 5 x^{2}$ 的开口方向为．

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12. 在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则取出红球的概率是．

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13. 已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则扇形的弧长为（结果保留π）．

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14. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片 $A B C$ 上，使点C与半圆圆心重合，点B在半圆上，边 $A B$ 、 $A C$ 分别交圆于点E、F，点B、E、F对应的读数分别为 $160 °$ 、 $72 °$ 、 $50 °$ ，则 $∠ A$ 为．

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15. 如下图，要围一个矩形菜园 $A B C D$ ，其中一边 $A D$ 是墙，且 $A D$ 的长不能超过 $26 m$ ，其余的三边 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ 用篱笆，且这三边的和为 $40 m$ ，则菜园 $A B C D$ 面积的最大值为 $m^{2}$ ．

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16. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 为直径， $∠ B A C = 50 °$ ，点 $D$ 为弦 $A C$ 的中点，点 $E$ 为 $\overset{⌢}{B C}$ 上的任意一点（点 $E$ 不与点 $C$ 重合）．

（1） $\overset{⌢}{A C}$ 的度数为．
（2）假设 $∠ C E D$ 的度数为 $x$ ，则 $x$ 的取值范围为．

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三、解答题（共8小题，满分66分，各小题都必须写出解答过程）

17. 已知二次函数 $y = 2 x^{2} + b x - 3$ 的图象经过点 $A (1, 3)$ ．

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、求这个图象的顶点坐标．

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18. 某单位工会组织内部抽奖活动，共准备了100张奖券，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖20个，三等奖30个，已知每张奖券获奖的可能性相同．求：

(1)、一张奖券中特等奖的概率．

(2)、一张奖券中一等奖或二等奖的概率．

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19. 已知抛物线 $y = - x^{2} - 2 x + 3$ 的部分图象如图所示．

(1)、结合函数图象，写出当 $y > 0$ 时，x的取值范围．

(2)、求该函数图象与x轴的交点和顶点所围成的三角形的面积．

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20. 如图， $⊙ C$ 经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为 $(0, 4)$ ． D是 $⊙ C$ 在第一象限内的一点，且 $∠ O D B = 60 °$ ．

(1)、求 $⊙ C$ 的半径．

(2)、求圆心C的坐标．

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21. 如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 直径，且 $A B = 8$ ， C，D是 $⊙ O$ 上的点， $O C ∥ B D$ ，交 $A D$ 于点E，连接 $B C$ ， $∠ C B D = 30 °$ ．

(1)、求 $∠ C O A$ 的度数；

(2)、求图中弧 $B D$ 与弦 $B D$ 围成的阴影部分的面积（结果保留π）．

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22. 为落实中央关于“双碳”的战略部署，必须加快推进绿色能源开发利用．绿色电能的主要来源为风能、太阳能等，在生产电力的过程中，绿色电能的二氧化碳排放量为零或趋近于零．为了解风力发电机组每天的发电量（记为Q），现对风力发电机组中每台风力发电机一天的发电量进行了随机调查，并将发电量的数据统计整理成如下不完整的频数分布表和频数直方图：
每台风力发电机一天发电量的频数分布表
发电量Q/万千瓦时
频数
频率
$1 \leq Q < 1.5$
$1$
$0.025$
$1.5 \leq Q < 2.0$
$2$
$a$
$2.0 \leq Q < 2.5$
$12$
$0.3$
$2.5 \leq Q < 3.0$
$b$

$3.0 \leq Q \leq 3.5$
$9$
$0.225$
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：

(1)、直接写出 $a$ 与 $b$ 的值，并将频数直方图补充完整．

(2)、若该风力发电机组共有 $200$ 台风力发电机，请估计该风力发电机组中一天发电量不少于 $2.5$ 万千瓦时的风力发电机有多少台？

(3)、绿色能源是指不排放污染物，能够直接用于生产生活的能源．某数学兴趣小组为了进一步学习绿色能源的相关知识，收集到太阳能热水、风力发电、氢能源汽车的图片，将其制成编号分别为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的三张卡片（除内容外，其余完全相同）．他们将这三张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是 $A$ 和 $C$ 的概率．

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23. 同学们在操场上玩跳长绳的游戏，跳长绳时，绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线．如图，正在甩绳的甲、乙两名同学之间的水平距离 $O D$ 为 $6$ 米，到地面的距离 $A O$ 与 $B D$ 均为 $1$ 米，绳子甩到最高点 $C$ 处时，最高点距地面的垂直距离为 $2.5 m$ ，以点 $O$ 为原点建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)、求出绳子甩到最高处时抛物线的函数表达式．

(2)、如果身高为 $1.5 m$ 的小丽站在 $O D$ 之间，当绳子甩到最高处，求小丽站在距离点 $O$ 的水平距离为多少米时，绳子刚好甩过她的头顶上方？

(3)、现在老师要举行集体跳长绳比赛，比赛时各队跳绳 $10$ 人，摇绳 $2$ 人，共计 $12$ 人．某班挑选出身高都为 $1.60$ 米的 $10$ 个同学参加跳绳．跳长绳比赛时，采用一路纵队的方式安排学生位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少 $0.5$ 米．那么该班同学以一路纵队的方式站在地面上时，绳子能否顺利的甩过所有队员的头顶？请计算说明．

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24. 定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．

(1)、如图1，若四边形 $A B C D$ 是圆美四边形，求美角 $∠ A$ 的度数．

(2)、在（1）的条件下，若 $⊙ O$ 的半径为 $5$ ．
①则 $B D$ 的长是______．
②如图2，在四边形 $A B C D$ 中，若 $C A$ 平分 $∠ B C D$ ，求证： $B C + C D = A C$ ．

(3)、在（1）的条件下，如图 $3$ ，若 $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径，请用等式表示线段 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ 之间的数量关系，并说明理由．

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身高 $x / cm$	$x < 160$	$160 \leq x < 170$	$170 \leq x < 180$	$x \geq 180$
人数	59	261	557	123

发电量Q/万千瓦时	频数	频率
$1 \leq Q < 1.5$	$1$	$0.025$
$1.5 \leq Q < 2.0$	$2$	$a$
$2.0 \leq Q < 2.5$	$12$	$0.3$
$2.5 \leq Q < 3.0$	$b$
$3.0 \leq Q \leq 3.5$	$9$	$0.225$