浙江省绍兴市上虞区2023-2024学年高三下学期适应性教学质量调测数学试卷

试卷更新日期：2024-05-10 类型：高考模拟

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 数据3，4，5，6，7，8，9，10的中位数为（）

A、6 B、 $6.5$ C、7 D、 $7.5$

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2. 函数 $f (x) = x + a \ln x$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线与直线 $y = 2 x$ 平行，则 $a =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $- 1$ D、 $- 2$

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3. 已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是单位向量，且它们的夹角是 $60 °$ ，若 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = λ \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $1$ D、 $2$

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4. 若 $\sin (\frac{5 π}{12} + α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (2 α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{9}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{9}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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5. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且在 $(- \infty, 0)$ 上单调递减， $a = f (\ln 2.04)$ ， $b = f (- 1.04)$ ， $c = f (e^{0.04})$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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6. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ ，直线 $x = m$ 与抛物线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，过 $A, B$ 两点分别作抛物线的两条切线交于点 $P$ ，若 $△ A B P$ 为正三角形，则 $m$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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7. 汉诺塔（Tower of Hanoi），是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图所示，有三根相邻的标号分别为A、B、C的柱子， A柱子从下到上按金字塔状叠放着 $n$ 个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为 $H (n)$ ，例如： $H (1) = 1$ ， $H (2) = 3$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $H (3) = 5$ B、 $\{H (n)\}$ 为等差数列 C、 $\{H (n) + 1\}$ 为等比数列 D、 $H (7) < 100$

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8. 三棱锥 $A - B C D$ 满足 $B C - A C = B D - A D = 2$ ，二面角 $C - A B - D$ 的大小为 $60^{\circ}$ ， $C D ⊥ A B$ ， $A B = 4$ ， $C D = 3$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 外接球的体积为（）

A、 $7 π$ B、 $28 π$ C、 $\frac{7 \sqrt{7} π}{3}$ D、 $\frac{28 \sqrt{7} π}{3}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.

9. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = a b$ ，则（）

A、 $a > 1$ 且 $b > 1$ B、 $a b \geq 4$ C、 $a + 4 b \leq 9$ D、 $\frac{b}{a} + \frac{1}{b} > 1$

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10. 已知复数 $z = x + y i (x, y \in R)$ ，其中 $i$ 为虚数单位，若 $z$ 满足 $|z + 1| + |z - 1| = 4$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $|z|$ 的最大值为 $2$ B、 $y$ 的最大值为 $1$ C、存在两个 $z$ ，使得 $z + \bar{z} = - 4$ 成立 D、存在两个 $z$ ，使得 $|z - (1 + \frac{3}{2} i)| = 1$ 成立

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ， $b_{n} = \log_{2} (a_{n} + 1)$ .若数列 ${a_{n}}$ 保持顺序不变，在 $a_{k}$ 与 $a_{k + 1}$ 项之间都插入 $2^{k}$ 个 $b_{k}$ 后，组成新数列 ${c_{n}}$ ，记 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{n + 1} = 2^{n}$ B、 $b_{n} = n$ C、 $c_{2024} = 10$ D、 $S_{2024} = 20150$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12. ${(\frac{1}{x} - 2 x)}^{6}$ 的展开式的第四项为.

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13. 过原点 $O$ 的直线 $l$ 与圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 9$ 交于 $A, B$ 两点，若 $\vec{A O} = 2 \vec{O B}$ ，则直线 $l$ 的斜率为.

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14. 已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的增函数 $f (x)$ 满足：对任意的 $a, b \in (0, + \infty)$ 都有 $f (a b) = f (a) + f (b)$ 且 $f (4) = 2$ ，函数 $g (x)$ 满足 $g (x) + g (4 - x) = - 2$ ， $g (4 - x) = g (x + 2)$ . 当 $x \in [0, 1]$ 时， $g (x) = f (x + 1) - 1$ ，若 $g (x)$ 在 $[0, m]$ 上取得最大值的 $x$ 值依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{k}$ ，取得最小值的 $x$ 值依次为 ${x^{'}}_{1}$ ， ${x^{'}}_{2}$ ， …， ${x^{'}}_{n}$ ，若 $\sum_{i = 1}^{k} [x_{i} + g (x_{i})] + \sum_{i = 1}^{n} [{x^{'}}_{i} + g ({x^{'}}_{i})] = 21$ ，则 $m$ 的取值范围为

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四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，面 $B C C_{1} B_{1}$ $⊥$ 面 $A B C$ ， $B C = 2 C_{1} B_{1}$ ， $A B = A C = 2$ ， $B B_{1} = C C_{1} = 1$ ， $∠ C A B = 90^{\circ}$ ， $O$ 为 $B C$ 中点.

(1)、求证： $C_{1} O / /$ 面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、求直线 $A A_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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16. 盒子中装有大小形状相同的4个小球，其中2个白色2个红色. 每次取一球，若取出的是白球，则不放回；若取出的是红球，则取完放回.

(1)、取两次，求恰好一红一白的概率；

(2)、取两次，记取到白球的个数为随机变量 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列及均值；

(3)、在第2次取出的球是红球的条件下，求第1次取出的球是白球的概率．

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17. 在三角形 $A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 对应边分别为 $a, b, c$ 且 $b \cos C + \sqrt{3} c \sin B = a + 2 c$ .

(1)、求 $∠ B$ 的大小；

(2)、如图所示， $D$ 为 $△ A B C$ 外一点， $∠ D C B = ∠ B$ ， $C D = \sqrt{3}$ ， $B C = 1$ ， $∠ C A D = 30^{\circ}$ ，求 $\sin ∠ B C A$ 及 $△ A B C$ 的面积.

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，动点 $P (x, y)$ （ $x > 0$ ）与定点 $F (2, 0)$ 的距离和 $P$ 到直线 $l$ ： $x = \frac{3}{2}$ 的距离之比是常数 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．

(1)、求动点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、记动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ ，过点 $Q (\frac{3}{2}, 0)$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，直线 $B F$ 与曲线 $C$ 的另一个交点为 $E$ .
（i）求 $k_{A B} + k_{Q E}$ 的值；
（ii）记 $△ O A B$ 面积为 $S_{1}$ ， $△ Q B F$ 面积为 $S_{2}$ ， $△ Q E F$ 面积为 $S_{3}$ ，试问 $|\frac{S_{1}}{S_{2} - S_{3}}|$ 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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19. 帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数 $m, n$ ，函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的 $[m, n]$ 阶帕德近似定义为： $R (x) = \frac{a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{m} x^{m}}{1 + b_{1} x + \dots + b_{n} x^{n}}$ ，且满足： $f (0) = R (0)$ ， $f^{'} (0) = R^{'} (0)$ ， $f^{″} (0) = R^{″} (0)$ ， …， $f^{(m + n)} (0) = R^{(m + n)} (0)$ . 已知 $f (x) = e^{x}$ 在 $x = 0$ 处的 $[1, 1]$ 阶帕德近似为 $R (x) = \frac{1 + a x}{1 + b x}$ .注： $f^{″} (x) = {[f^{'} (x)]}^{'}$ ， $f^{'''} (x) = [f^{'}^{'} (x)]^{'}$ ， $f^{(4)} (x) = [f^{'''} (x)]^{'}$ ， $f^{(5)} (x) = {[f^{(4)} (x)]}^{'}$ ， …

(1)、求实数 $a, b$ 的值；

(2)、当 $x \in (0, 1)$ 时，试比较 $f (x)$ 与 $R (x)$ 的大小，并证明；

(3)、定义数列 ${a_{n}}$ ： $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n} e^{a_{n + 1}} = e^{a_{n}} - 1$ ，求证： $\frac{1}{2^{n}} \leq a_{n} \leq \frac{1}{2^{n - 1}}$ .

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