浙江省温州市洞头区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-11-22 类型：期中考试

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选、均不给分）

1. 下列图标中，属于轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列长度的三条线段能构成三角形的是（）

A、6，11，5 B、2，8，5 C、3，4，6 D、2，3，7

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3. 如图，用三角板作 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °, B D ⊥ A C, ∠ C = 55 °$ ，则 $∠ A B D =$ （）

A、 $25 °$ B、 $35 °$ C、 $45 °$ D、 $55 °$

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5. 如图， $△ O C A ≌ △ O B D$ ， $∠ A = 30 °$ ， $∠ A O C = 80 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $70 °$ C、 $80 °$ D、 $90 °$

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6. 下列条件中，能判定 $△ A B C$ 为直角三角形的是（）

A、 $A B = A C = 1, B C = 2$ B、 $B C : A C : A B = 1 : 2 : 3$ C、 $∠ A : ∠ B : ∠ C = 3 : 4 : 5$ D、 $∠ A + ∠ B = ∠ C$

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7. 对假命题“若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ ”举反例，正确的反例是（）

A、 $a = - 1$ ， $b = 2$ B、 $a = 2$ ， $b = - 1$ C、 $a = - 1$ ， $b = 0$ D、 $a = - 1$ ， $b = - 2$

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8. 如图， $A B ∥ C D, B P$ 和 $C P$ 分别平分 $∠ A B C$ 和 $∠ D C B, A D$ 过点 $P$ ，且与 $A B$ 垂直．若 $A D = 8$ ，则点 $P$ 到 $B C$ 的距离是（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、3 C、4 D、5

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，将图形沿着 $B D$ 折叠，点C落在 $A C$ 上的点F处，再将图形沿 $F E$ 折叠，点A正好落在 $A B$ 的点G处，此时 $G B = G F$ ，则 $∠ B A C$ 的度数为（）

A、25 B、35 C、45 D、55

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10. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把最小的一个正方形按图2的方式放入较大的正方形内，然后把最大的正方形沿BC翻折，记△EHP和正方形ADNM的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ .若点N，M，G三点共线，且满足 $S_{1} + S_{2} = 7$ ，则图2中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{49}{5}$ B、 $\frac{51}{5}$ C、 $\frac{54}{5}$ D、 $\frac{56}{5}$

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二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）

11. 命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为.

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12. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A C = ∠ D A C$ ，请补充一个条件，使 $△ A B C ≌ △ A D C$ ．

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13. 若等腰三角形的两边长分别是4和6，则这个三角形的周长是.

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 6 cm$ ，分别以 $A, B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧交于 $M, N$ 两点，连结 $M N$ ，交 $A B$ 于点E，交 $A C$ 于点 $D, △ B C D$ 的周长是 $11 cm$ ，则 $B C$ 的长为．

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15. 小李用7块长为 $8 cm$ ，宽为 $3 cm$ 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板 $(A B = B C, ∠ A B C = 90 °)$ 点 $B$ 在 $D E$ 上，点 $A$ 和 $C$ 分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 $cm$ ．

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16. 如图，已知 $△ A B C ≅ △ D B E, D E$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，且 $∠ A = ∠ D F B$ ，若 $C F = 2$ ， $A B = 6$ ，则 $B C$ 的长为．

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17. 如图，等边三角形 $A B C$ 的边长为5， $C H ⊥ A B, M$ 是 $C H$ 所在直线上的一个动点， $D$ 是 $B C$ 的中点，连接 $M B, M D$ ，将线段 $B M$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到 $B N$ ，连接 $H N$ ，在点 $M$ 运动过程中，线段 $H N$ 长度的最小值是．

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18. 如图2，是某款台灯（图1）的示意图，处于水平位置的横杆 $E F$ 可以绕着点 $O$ 转动．当 $O F$ 分别转到 $O M$ ， $O N$ 的位置时，测得 $∠ M O N = 90 °$ ， $M$ ， $N$ 的高度差 $G H = 31 cm$ ， $N$ ， $F$ 的水平距离 $N H = 1 cm$ ， $M G = 18 cm$ ，若该台灯底座离度 $A B = 2 cm$ ，则点 $O$ 到桌面 $B C$ 的距离为 $cm$ ．

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三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）

19. 如图，已知点 $C$ ， $E$ ， $F$ ， $B$ 在同一直线上， $A B ∥ C D$ ， $B F = C E$ ， $∠ A = ∠ D$ ，则 $A E = D F$ ．完成下面的说理过程（填空）．
证明 $∵ A B ∥ C D$ （已知）
$∴ ∠ B =$
$∵ B F = C E$ （已知），
∴ $B F +$                 $= C E +$
即 $B E =$
在 $△ A B E$ 和 $△ D C F$ 中，
∵ $\{\begin{matrix} \underline{} = \underline{} \\ \underline{} = \underline{} \\ \underline{} = \underline{} \end{matrix}$
∴ $△ A B C ≌ △ D C F$ （               ）
∴ $A E = D F$ （               ）

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20. 在 $6 \times 6$ 的网格中有线段 $A B$ ，在网格线的交点上找一点 $C$ ，作出三角形 $A B C$ 满足如下条件，（仅用无刻度的直尺作图）

(1)、在图1中画一个等腰三角形但不是直角三角形：

(2)、在图2中画一个直角三角形，使两直角边的长均为无理数．

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21. 如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $D$ 是 $B C$ 上的一点，作 $D E ⊥ A C$ 于点 $E, A B = A E$ ．

(1)、求证： $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．

(2)、若 $A B = 9, B C = 12$ ．求 $C D$ 的长度．

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22. 探索并完成相应的任务．

课题		测凉亭与游艇之间的距离
项目情景与背景		如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（ $A B$ 与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想测量凉亭与这艘游艇之间的距离，可使用工具如下：测量角度的仪器，标杆，皮尺．
素材	小明测量方案	小明从凉亭A点向西（平行于堤岸）走到 $C$ 点，此时恰好测得 $∠ A C B = 45 °$ ．
任务一	理解测量方案	小明认为要知道 $A B$ 的距离，只需要测量的长度．
任务二	设计测量方案	结合已学知识，设计一种与小明不同的测量距离 $A B$ 的方案（仅限以上工具），请写出测量方案，画出示意图并说明理由．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C E 、 B D$ 分别是 $A B 、 A C$ 边上的高线，M是 $B C$ 的中点，连接 $D E 、 E M 、 M D$ ．

(1)、求证： $M E = M D$ ．

(2)、若 $∠ A = 45 °$ ，求 $∠ E D M$ 的度数．

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24. 如图1，在等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C, B D$ 是边 $A C$ 上的高线， $C D = 1, A D = 4$ ．点 $P$ 是射线 $D A$ 上的一点，作 $P E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，连接 $D E$ ．

(1)、求 $A B =$ ， $B C =$ ．

(2)、①当点 $P$ 在线段 $A D$ 上时，若 $△ C D E$ 是以 $C D$ 为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的 $D P$ 的长度．
②如图2，设 $P E$ 交直线 $A B$ 于点 $F$ ，连接 $D F, B P$ ，若 $S_{△ D A F} : S_{△ D B A} = 3 : 5$ ，则 $B P$ 长为（直接写出结果）．

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