高考物理一轮复习：机械能守恒定律

试卷更新日期：2024-09-13 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 在高空中悬停的无人机因突然失去动力而下坠，在此过程中，其所受空气阻力与下坠速度成正比，则无人机在下坠过程中（　　）

A、机械能一直减小 B、机械能先减小后不变 C、重力做功等于动能的增量 D、合外力做功等于机械能的增量

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2. 在不计阻力的条件下，关于下图所对应的描述正确的是（）

A、图甲中，物块在光滑水平面上压缩弹簧的过程中，物块的机械能守恒 B、图乙中，秋千从 $A$ 点摆到 $B$ 点的过程中，小朋友（可视为质点）的机械能守恒 C、图丙中，在蹦床比赛中，运动员从 $A$ 下落至最低点 $C$ 过程中，运动员机械能守恒 D、图丁中，在撑杆跳比赛中，运动员撑杆上升过程中其机械能守恒

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3. 不可伸长的细线下端系一小球，上端悬挂在固定点O。现用水平力 F缓慢地将小球从最低点A 拉至如图所示的位置B。则小球从A点运动到B点的过程中（　　）

A、力F先增大后减小 B、细线对小球做负功 C、小球的机械能守恒 D、力 F对小球做正功

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4. 如图所示，木板C静止在足够大的光滑水平面上，两个材料相同、质量不同的滑块A、B（均可视为质点）同时从木板两端以不同的速度水平滑上木板，最终同时停在木板上且恰好相遇，相遇点距木板左端的距离为板长的 $\frac{1}{3}$ 。已知木板C与滑块B的质量相等，下列说法正确的是（　　）

A、A、B两滑块的质量之比为 $1 : 3$ B、A、B两滑块的初速度之比为 $1 : 3$ C、A、B两滑块因摩擦产生的热量之比为 $1 : 3$ D、此过程中摩擦力对A、B两滑块的冲量之比为 $1 : 3$

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5. 如图所示，物块A、B静止于光滑水平面上，中间连接一轻弹簧，弹簧处于原长状态。B上有一物块C，两者可一起运动。三个物块A、B、C的质量相同，且均可视为质点。现给A水平向右的瞬时冲量，当弹簧的弹性势能达到最大值时，其值为E_p；当弹簧第一次恢复原长时，立即取走C，当弹簧的弹性势能再次达到最大值时，其值为 $E_{p}^{^{'}}$ 。则E_p和 $E_{p}^{^{'}}$ 的比值为（　　）

A、 $12 : 1$ B、 $4 : 3$ C、 $12 : 17$ D、 $24 : 19$

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6. 如图所示，光滑水平轨道AB与竖直面内的光滑半圆形轨道BC在B点平滑连接．一小物体将轻弹簧压缩至A点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达最高点C．下列说法正确的是（）

A、物体在C点所受合力为零 B、物体在C点的速度为零 C、物体在C点的向心加速度等于重力加速度 D、物体在A点时弹簧的弹性势能等于物体在C点的动能

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7. 如图甲所示，轻弹簧竖直固定在水平面上，一质量为 $m = 0.2 k g$ 的小球，从弹簧上端某高度处自由下落，从它接触弹簧到弹簧压缩至最短的过程中（弹簧在弹性限度内），其速度 $v$ 和弹簧压缩量 $Δ x$ 之间的函数图象如图乙所示，其中 $A$ 为曲线的最高点，小球和弹簧接触瞬间机械能损失不计， $g$ 取 $10 m / s^{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、小球刚接触弹簧时加速度最大 B、该弹簧的劲度系数为20.0N/m C、从接触弹簧到压缩至最短的过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小 D、从接触弹簧到压缩至最短的过程中，小球的机械能守恒

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8. 如图所示，质量为m的运动员，运动员弹起至最高点后掉下来，下降高度为H后开始与蹦床接触，在蹦床上继续下降h到达最低点，不计空气阻力，重力加速度大小为g ，则下列说法正确的是（）

A、运动员落至最低点时，重力势能减少了 $m g (H + h)$ B、运动员刚接触蹦床时的动能等于 $m g (H + h)$ C、运动员接触蹦床后开始做减速运动 D、运动员落至最低点的过程中克服弹力所做的功等于刚接触蹦床时的动能

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9. 如图所示，“水火箭”又称气压式喷水火箭，由饮料瓶、装入瓶内的水及高压气体组成。在一次发射实验中将总质量为M的自制“水火箭”静置在地面上。发射时“水火箭”在极短时间 $Δ t$ 内，以相对地面的速度 $v_{0}$ 竖直向下喷出质量为m的水。取重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）

A、“水火箭”的动力来源于火箭外的空气对它的推力 B、“水火箭”喷出水的过程内力远大于外力，所以系统机械能守恒 C、“水火箭”获得的最大速度为 $\frac{m}{M - m} v_{0}$ D、“水火箭”受到的平均升力为 $\frac{m v_{0}}{Δ t} + M g$

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10. 如图所示，已知竖直平面内的圆形轨道半径为 $R = 0.4 m$ ，且远大于管的半径，管内壁光滑，不计管内空气阻力，小球质量 $m = 0.005 kg$ ，小球半径略小于管的半径，且可看做质点，重力加速度 $g = 10 {m/s}^{2}$ ，小球从与圆心等高的A点进入轨道，下列说法正确的是（）

A、若小球能到最高点C点，则小球在C点速度至少为2m/s B、若小球到最高点C点时对轨道没有压力，则小球在C点速度为2m/s C、若小球到最高点C点时速度为4m/s，则小球对轨道的弹力大小为0.25N，方向竖直向上 D、若从A点静止释放小球，轨道半径R越大，则小球到最低点B点对轨道的压力越大

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11. 用如图所示装置做“验证机械能守恒定律”的实验，通过测量重物运动过程中下落高度h和相应的速度大小v等物理量，进行分析验证。下列说法正确的是（　　）

A、重物应在靠近打点计时器处由静止释放 B、应先释放纸带再打开打点计时器电源 C、可以利用公式 $v = g t$ 计算重物的速度 D、作 $v^{2} ~ h$ 图像，只有当图线是过原点的直线时，才能说明机械能守恒

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12. 在用“落体法”做“验证机械能守恒定律”的实验时，为减小阻力对实验的影响，下列操作可行的是（　　）

A、选用体积大的重锤 B、安装打点计时器时两限位孔在同一水平面上 C、释放纸带前，手应提纸带上端并使纸带竖直 D、重锤下落过程中，手始终提住纸带上端，保持纸带竖直

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二、多项选择题

13. 某实验小组在“验证机械能守恒定律”实验中，研究重物从静止开始下落过程中打点计时器打出的一条纸带，在纸带打下的一系列点中，O为起点，取 $O A$ 段进行实验数据分析，结果发现：重物重力势能的减小量小于动能的增加量。造成这一结果可能的原因是（）

A、接通电源前释放了纸带 B、重物下落的过程中存在摩擦力和空气阻力 C、重物落地后反弹或打点计时器电压过大 D、末位置的瞬时速度计算错误

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14. 如图所示，一个质量为m的物体（可视为质点）以某一速度从A点冲上倾角为 $30 °$ 的固定斜面，其运动的加速度为 $\frac{3}{4} g$ ，物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这个过程中物体（　　）

A、重力势能增加了 $\frac{3}{4} m g h$ B、重力势能减少了 $m g h$ C、动能损失了 $\frac{3}{2} m g h$ D、机械能损失了 $\frac{m g h}{2}$

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15. 如图甲所示，将物块从倾角为 $θ = 30 °$ 的斜面顶端由静止释放，取地面为零势能面，物块在下滑过程中的动能 $E_{k}$ 、重力势能 $E_{p}$ 与下滑位移x间的关系如图乙所示，取 $g = 10 {m/s}^{2}$ ，下列说法正确的是（）

A、下滑全程摩擦力对物块做功 $- 1 J$ B、物块的质量是0.2kg C、物块与斜面间的动摩擦因数为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、物块从静止释放到动能和重力势能相等时，机械能损失了0.6J

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16. 如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为 $m$ 的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态 $。$ 现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为 $L$ ，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为 $2 L$ （未超过弹性限度），则在圆环下滑到最大距离的过程中（　　）

A、圆环下滑到最大距离时，所受合力为零 B、圆环的机械能守恒 C、弹簧弹性势能增大了 $\sqrt{3} m g L$ D、圆环重力势能与弹簧弹性势能之和先减小后增加

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17. 如图甲所示，一传送带与水平面夹角θ=37^° ，向同一方向以恒定速率转动；一质量为m的小物块以初动能E₀从下端A点滑上传送带，到达上端B点时速度刚好减为0，AB长度为l，小物块在传送带上运动的过程中，动能E_k与其对地位移x的关系图像如图乙所示。设传送带与小物块之间动摩擦因数不变，sin37^°=0.6，cos37^°=0.8。则（　　）

A、传送带在逆时针转动 B、小物块与传送带之间的动摩擦因数为0.5 C、传动带转动的速率为 $\sqrt{\frac{2 E_{0}}{m}}$ D、整个过程中物块与传送带间产生的热量为 $\frac{3 E_{0}}{5}$

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三、非选择题

18. 某同学用如图所示的实验装置验证机械能守恒定律。

（1）为验证机械能是否守恒，需要比较重物下落过程中是否相等（选填选项前的字母）。
A.任意两点间速度变化量与高度变化量
B.任意两点间速度变化量与势能变化量
C.任意两点间的动能增加量与势能减少量
（2）某同学在做实验时进行了如下操作，其中操作不当的步骤是（选填选项前的字母）。
A.将打点计时器接到直流电源上
B.将接有重物的纸带沿竖直方向穿过打点计时器的限位孔
C.先释放纸带，再接通电源
（3）实验中得到如图所示的一条纸带。在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，测得它们到起始点O（重物开始下落时打点计时器在纸带上打下的第一个点）的距离分别为h_A、h_B、h_C。设重物的质量为m，已知当地重力加速度为g，打点计时器打点的周期为T。从打O点到打B点的过程中，若验证机械能守恒定律成立，需要满足的表达式为。

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19. 阅读下面材料，完成下面小题
灾难发生时，三体行星正处于一个稳定的恒纪元中，围绕着三星中的一颗恒星运行，轨道半径约0.6个天文单位。恒星被光粒击中后，光球层和对流层上被击出一个巨大的裂孔，孔的直径达五万千米，可以并排放下四个地球。不知是偶然还是攻击者有意为之，光粒击中恒星的位置正在行星运行的黄道面上。从三体行星上看去，那个太阳的表面出现了一个光度极强的亮斑，它像熔炉的大门，太阳深处的强辐射通过裂孔，穿透光球层、对流层和色球层，直接照射到行星上。暴露在光斑下的那个半球之上，处于室外的生命在几秒钟内就被烤焦。接着，恒星内部的物质从裂孔喷涌而出，形成了一股五万千米粗的烈焰喷泉。喷出的太阳物质温度高达千万度，一部分在引力的作用下落回太阳表面，一部分则达到了逃逸速度，直冲太空。从行星上看去，太阳表面仿佛长出了一棵灿烂的火树。约四小时后，喷出物质穿过0.6个天文单位的距离，火树的树顶与行星轨道相交。又过了两个小时，运行中的行星接触了火树的树梢，然后在喷出物质带中运行了三十分钟，这段时间，行星等于是在太阳内部运行，喷出物质经过太空的冷却后仍有几万摄氏度的高温。当行星移出喷出物质带后，它已经是一个发出暗红色光芒的天体，表面均被烧熔，岩浆的海洋覆盖了一切。行星的后面拖着一道白色的尾迹，那是被蒸发的海洋的水蒸气；而后尾迹被太阳风吹散，行星变成了一颗披散着白色长发的彗星。
这时，行星表面已经没有生命，三体世界已经毁灭，但灾难的引信才刚刚点燃。喷出带对行星产生了巨大的阻力，行星在穿过后运行速度降低，轨道下降了一些。火树像太阳伸出的魔爪，一次次拉低行星，只要穿过喷出带十次左右，行星就会坠落到太阳表面，三体星系中漫长的宇宙橄榄球赛将迎来大结局，但这个太阳没有活到成为冠军的那一刻。
由于喷出物质导致压力降低，恒星内部的核聚变反应暂时变弱，于是这个太阳迅速暗下去，最后只能看到一个朦胧的轮廓，这使得太阳表面的火焰巨树更加醒目耀眼，仿佛是在宇宙的底片上用尖利物划出来的。随着聚变的熄灭，内部辐射压力已不足以支撑恒星的外壳，太阳开始坍缩，最终黯淡下去的外壳接触并挤压内核，引发了最终的大爆发。
这就是三天前地球上的人们看到的那一幕。
恒星爆发摧毁了三体星系的一切，星系内正在逃离的大部分飞船和太空域都被毁灭，只有极少数的飞船侥幸逃脱——当时，这些飞船正处于另外两颗太阳后面，这两颗没有受到打击的恒星在大爆发中起到了掩体的作用。
以后，剩下的两轮太阳将组成一个稳定的双星系统，但再也没有生命来享受有规律的日出日落了。爆发的恒星物质和破碎的行星在两轮太阳周围形成广阔的吸积盘，像两片灰色的墓场。
……
以三体恒星毁灭的观测数据为基础，建立了太阳遭到同样打击时的灾变数学模型。对该模型的运算表明，如果太阳遭到光粒袭击，火星轨道之内的类地行星将被全部摧毁。在打击初期，水星和金星完全解体，地球将保留一部分体积并维持球体形状，但其表面将被剥离，剥离深度达五百千米左右，包括全部地壳和地幔的一部分；火星表面将被剥离一百千米左右。在打击后期，所有类地行星将由于太阳爆发物质的阻力降低轨道，最终坠落到太阳的残存核心上，完全毁灭。
数学模型显示，太阳爆发的破坏力，包括辐射和扩散的恒星物质的冲击，与距离的平方成反比，即与太阳距离增大时破坏力急剧降低，这就使得距太阳较远的类木行星能够在打击中幸存。
在打击初期，木星表面将受到剧烈扰动，但其整体结构将保持完好，木星的卫星系统将基本保持不变。土星、天王星和海王星只是在表面受到一般扰动，结构保持完好。扩散的太阳物质将会对三颗类木行星的运行轨道产生一定影响，但在打击后期，爆发后的太阳物质将形成螺旋状的残骸星云，其旋转的角速度和方向将与类木行星保持一致，不再对行星产生足以降低轨道的阻力。
可以确定，太阳系的四颗巨行星：木星、土星、天王星和海王星在黑暗森林打击后将保持完好。这个重要的预测是掩体计划的基本依据。
五、掩体计划。
以木星、土星、天王星和海王星四大巨行星为掩体，避开黑暗森林打击引发的太阳爆发。计划在四大行星的背阳面建设供全人类移民的太空域，这些太空城紧靠各大行星，但不是它们的卫星，而是与行星一起绕太阳同步运行，这就使得太空城一直处于四大行星的背阳面，在太阳爆发时受到行星的屏蔽和保护。计划建立五十座太空城，每座可容纳一千五百万人左右。其中，木星背面二十座，土星背面二十座，海王星背面六座，天王星背面四座。建设太空城的材料取自四大行星的卫星，以及土星和海王星的星环。
建设太空城的材料取自四大行星的卫星，以及土星和海王星的星环。
六、掩体计划的技术问题。
该计划所涉及的技术基本在人类已达到的范围之内，舰队国际已具有丰富的太空城建设经验，并且已经在木星拥有相当规模的太空基地。也存在一些预计能够在计划规划的时间内克服的技术挑战，如太空城的位置维持。太空城不是四大行星的卫星，它们在行星的背阳面与行星保持相对静止的状态，且与行星的距离很近，引力会将太空城拉向行星，所以必须在太空城上安装位置维持发动机，以抵消行星引力，保持太空城与行星间的距离。最初计划太空城的位置位于巨行星的第二拉格朗日点，这是位于巨行星外侧的引力平衡点，没有位置维持问题，但发现距离掩体行星太远，难以起到防护作用。
……
“我们进去吧。”褚岩说，然后像跳水似的钻进了那个空间。莫沃维奇和关一帆惊恐地看着他的身体从头到脚消失在空气中，在空间泡无形球面上，他身体的断面飞快地变换着形状，那晶亮的镜面甚至在周围的舱壁上反射出水纹一样跳动的光影。褚岩很快完全消失了，正当莫沃维奇和关一帆面面相觑之际，突然从那个空间伸出两只手，那两只手和前臂都悬在空中，分别伸向两人，莫沃维奇和关一帆各抓住一只手，立刻都被拉进了四维空间。
有过亲身经历的人都一致同意，置身四维空间的感觉是不可能用语言来描述的，他们甚至断言，四维感觉是人类迄今为止所遇到的唯一一种绝对不可能用语言描述的事物。
人们总是喜欢用这样一个类比：想象生活在三维空间中的一张二维平面画中的扁片人，不管这幅画多么丰富多彩，其中的二维人只能看到周围世界的侧面，在他们眼中，周围的人和事物都是一些长短不一的线段而已。只有当一个二维扁片人从画中飘出来，进人三维空间，再回头看那幅画，才能看到画的全貌。
这个类比，其实也只是进一步描述了四维感觉的不可描述。
首次从四维空间看三维世界的人，首先领悟到一点：以前身处三维世界时，他其实根本没看见过自己的世界，如果把三维世界也比做一张画，他看到的只是那张画与他的脸平面垂宣放置时的样子，看到的只是画的侧面，一条线；只有从四维看，画才对他平放了。他会这样描述：任何东西都不可能挡住它后面的东西，任何封闭体的内部也都是能看到的。这只是一个简单的规则，但如果世界真按这个规则呈现，在视觉上是极其震撼的。当所有的遮挡和封闭都不存在，一切都暴露在外时，目击者首先面对的是相当于三维世界中亿万倍的信息量，对于涌进视觉的海量信息，大脑一时无法把握。
（取材于刘慈欣《三体全集：地球往事三部曲》）
太阳系基本数据

太阳
水星
金星
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
质量（kg）
$2 \times 10^{30}$
$3 \times 10^{23}$
$5 \times 10^{24}$
$6 \times 10^{24}$
$6 \times 10^{23}$
$2 \times 10^{27}$
$6 \times 10^{26}$
$9 \times 10^{25}$
$1 \times 10^{26}$
平均轨道半径（A。U。）
-
0.4
0.7
1
1.5
5.2
9.5
19.1
30
$1 A .U . = 1.5 \times 10^{11} m$

(1)、拉格朗日点是指太阳与行星构成的系统中的某个点，在该点放置一个质量很小的物体，该物体仅在太阳和行星（如木星）的万有引力作用下，可以保持与太阳和行星的相对位置不变，即能保持相对静止。系统中存在有多个拉格朗日点，其中一个位于行星的外侧，称为第二拉格朗日点，如下图所示：
i.对于“太阳-木星”系统，下列说法正确的是：
A.若要计算第二拉格朗日点与太阳间的距离，需要木星的质量
B.若物体位于第二拉格朗日点，则物体处于平衡状态
C.若物体位于第二拉格朗日点，则其环绕太阳运行的周期大于木星环绕太阳运行的周期
D.材料中提到的木星背阳面的太空城，就位于木星的第二拉格朗日点处
ii.地球和月球组成的“地-月”系统同样存在拉格朗日点，图中四个点不可能是拉格朗日点的是。
A.A点 B.B点 C.C点 D.D点

(2)、i.若光粒击毁太阳，试估算太阳完全消耗殆尽所能释放出的能量上限，已知光速 $c = 3.0 \times 10^{8} m/s$ （保留一位有效数字）
ii.建立适当的模型，试从能量的角度，证明：“太阳爆发的破坏……，与距离的平方成反比”。
iii.根据材料“在打击初期，木星表面将受到剧烈扰动，但其整体结构将保持完好”，我们可以认为打击后，太阳爆发出的能量传播至木星时，其大小不会对行星造成损害，进而定义此时木星处的能量为行星不被破坏的安全能量值，对各个行星均适用。
考虑这样一种情况，当太阳被光粒打击，爆发能量时，我们使用某种手段，让整个太阳系一起跃迁入四维空间。试通过计算分析：在四维空间中，地球受到的能量是否大于行星的安全能量值，即我们跃入四维空间中能否躲过光粒的打击？假设能量守恒定律总是成立。

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20. 请结合守恒思想和力学相关知识，回答下列问题：
（1）在实际生活中经常看到这种现象：适当调整开关，可以看到从水龙头中流出的水柱越来越细，这是由于流体的连续性和质量守恒。如图1所示，垂直于水柱的横截面可视为圆。在水柱上取两个横截面A、B，面积分别为 $S_{A}$ 、 $S_{B}$ ，经过A、B的水流速度大小分别为 $v_{1}$ 、 $v_{2}$ ，由于流体的连续性和质量守恒，单位时间内通过任一截面的体积相等，则有 $S_{A} v_{1} = S_{B} v_{2}$ 。若A、B直径分别为 $d_{1}$ 、 $d_{2}$ ，且 $\frac{d_{1}}{d_{2}} = \frac{2}{1}$ 。求：水流的速度大小之比 $\frac{v_{1}}{v_{2}}$ 。
（2）如图2所示：水平桌面上有一盛有水的大容器，其侧面安装有一个水平的短细管，水能够从细管中喷出；根据（1）中的 $S_{1} v_{1} = S_{2} v_{2}$ ，由于容器中水面的面积 $S_{1}$ 远远大于细管内的横截面积 $S_{2}$ ，所以容器中液面下降的速度比细管中的水流速度小很多，可以忽略不计。
假设水不可压缩，而且没有粘滞性。重力加速度为g，当细管到液面的距离为h时，求：细管中的水流速度v的大小。
（3）如图2所示，细管中的水在水平桌面上的射程x与细管所安的高度有关。当细管到液面的距离为 $h_{m}$ 时，x有最大值。已知大容器中液面到容器底的距离为H，忽略液面高度的变化，求： $h_{m}$ 与H之比。

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21. 如图所示，从A点以速度 $v_{0}$ =2m/s水平抛出一质量m=2kg的小物块，小物块恰好沿切线方向从B点进入固定的光滑圆弧轨道BC，经圆弧轨道后滑上与C点等高固定在水平面上的长木板上，圆弧轨道C端切线水平，已知A、B两点距C点的高度分别为H=2.5m，h=1.5m，小物块与长木板之间的动摩擦因数 $μ$ =0.4，DF部分上表面光滑，在长木板F端竖直挡板固定着一轻弹簧.弹簧的自由长度与DF等长.L_CD=1.5m，L_DF=0.5m，取重力加速度g=10m/s² ，不计空气阻力.求：

(1)、小物块运动至B点时的速度大小；

(2)、小物块在长木板上运动过程中轻弹簧的最大弹性势能；

(3)、小物块最终停在长木板上距离C点多远.

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22. 如图所示，倾角为30°的足够长光滑斜面固定在水平地面上，一轻绳绕过两个光滑的轻质滑轮连接着固定点P和物体B，两滑轮之间的轻绳始终与斜面平行，物体A 与动滑轮连接，开始时，物体A、B处于静止状态，求：
（1）若静止释放后物体B开始竖直向下运动， $\frac{m_{B}}{m_{A}}$ 需要满足什么条件？
（2）若A、B两物体质量相等均为m，静止释放后，物体A 的位移为L时，重力加速度为g，求
①物体A 的速度大小v_A；
②物体A 的机械能相比静止时的变化量 $Δ E$

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23. 如图所示，长度L=2m的水平传送带始终以速度v=3m/s逆时针匀速转动，传送带的左边和右边各有一个与传送带等高的光滑平台。在左边平台上固定一处于锁定状态的弹簧，其储存的弹性势能 $E_{p} = 18$ J，一个质量m=1kg的小物块（可视为质点）紧靠弹簧放置。解除锁定，弹簧恢复原长时小物块从A端滑上传送带，并以v=4m/s的速度离开传送带的B端。重力加速度取g=10m/s²。求：
（1）小物块与传送带之间的动摩擦因数μ。
（2）物块在传送带上运动过程中，系统因摩擦产生的热量Q。
（3）电动机因物块在传送带上运动而多消耗的电能E。

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24. 如图所示，水平地面上固定一高 $H = 0.6 m$ 的水平台面，台面上竖直固定倾角为 $θ$ 的直轨道 $A B$ 、水平直轨道 $B C$ 、四分之一圆周细圆管道 $C D$ 和半圆形轨道 $D E F$ ，它们平滑连接且处处光滑，其中管道 $C D$ 的半径 $r = 0.1 m$ 、圆心在 $O_{1}$ 点，轨道 $D E F$ 的半径 $R = 0.2 m$ 、圆心在 $O_{2}$ 点， $O_{1}$ 、 $D$ 、 $O_{2}$ 和 $F$ 点均处在同一水平线上。一小球从轨道 $A B$ 上距水平直轨道 $B C$ 高为 $h$ （未知）的 $P$ 点由静止滚下，小球经管道 $C D$ 、轨道 $D E F$ 从 $F$ 点竖直向下运动，与正下方固定在直杆上的三棱柱 $G$ 碰撞，碰后速度方向水平向右，大小与碰前相等，最终落在地面上的 $Q$ 点，取重力加速度大小 $g = 10 m / s^{2}$ ，不计空气阻力。
（1）若 $P$ 处小球的初始高度 $h = 1.25 m$ ，求小球到达 $B$ 点时的速度大小 $v_{0}$ ；
（2）若小球能完成整个运动过程，求 $h$ 的最小值 $h_{min}$ ；
（3）若小球恰好能过最高点 $E$ ，且三棱柱 $G$ 的位置上下可调，求落地点 $Q$ 与 $F$ 点的水平距离 $x$ 的最大值 $x_{max}$ 。

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25. 如图所示，一竖直光滑的管内有一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端固定于地面，上端与一质量为m的小球A相连，小球A静止于O点。另一质量为m的小球B从距A高为 $H = \frac{3 m g}{k}$ 的P点由静止开始下落，与A发生碰撞瞬间粘在一起开始向下运动。两球均可视为质点，在运动过程中，弹簧的形变在弹性限度内，当其形变量为x时，弹性势能为 $E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2}$ 。已知弹簧振子的周期 $T = 2 π \sqrt{\frac{M}{k}}$ ， M为振子的总质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）B与A碰撞后瞬间一起向下运动的速度大小 $v_{1}$ ；
（2）小球A被碰后向下运动的最大速度 $v_{m}$ ，向下运动离O点的最大距离 $x_{m}$ ；
（3）小球A从开始向下运动到第一次回到O点所用的时间t。

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	太阳	水星	金星	地球	火星	木星	土星	天王星	海王星
质量（kg）	$2 \times 10^{30}$	$3 \times 10^{23}$	$5 \times 10^{24}$	$6 \times 10^{24}$	$6 \times 10^{23}$	$2 \times 10^{27}$	$6 \times 10^{26}$	$9 \times 10^{25}$	$1 \times 10^{26}$
平均轨道半径（A。U。）	-	0.4	0.7	1	1.5	5.2	9.5	19.1	30