高考物理一轮复习：万有引力

试卷更新日期：2024-09-13 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 2023年3月16日，在湖北省举行的科技创新大会，华中科技大学获奖41项，其中“万有引力常数G的精确测量”项目获湖北省科技进步特等奖。关于万有引力定律及引力常量，下列说法正确的是（　　）

A、由公式 $F = \frac{G m_{1} m_{2}}{r^{2}}$ 可知，当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大 B、万有引力定律只适用于天体之间 C、开普勒发现了万有引力定律，但没有测定出引力常量 D、引力常量G值最早是英国物理学家卡文迪什用扭称实验测得

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2. 下列说法中正确的是（　　）

A、开普勒提出行星绕太阳运动的轨道都是椭圆 B、牛顿发现万有引力定律，并测得引力常量 C、相对论物理学研究的是物体在低速运动时所遵循规律 D、相对论物理学和量子力学的出现，使牛顿力学失去了意义

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3. 北京时间2021年10月16日，我国长征二号F运载火箭搭载神舟十三号载人飞船顺利升空，11月8日两名航天员圆满完成出舱活动全部既定任务。如图为三舱做匀速圆周运动的在轨简图，已知三舱飞行周期为T，地球半径为 $R_{1}$ ，轨道舱的质量为m，距离地面的高度为 $R_{2}$ ，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）

A、返回舱和轨道舱对接时各自受力平衡 B、长征二号F运载火箭需要把神舟十三号载人飞船加速到第二宇宙速度，然后停止加速 C、三舱在轨运行的速度大小为 $v = \frac{2 π R_{2}}{T}$ D、由已知数据可以求出地球的质量和密度

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4. 北京时间2024年4月26日，神舟十八号载人飞船升空6.5小时后采用自主快速交会对接模式，对接于中国空间站天和核心舱径向对接口。当天05时04分，在轨执行任务的神舟十七号航天员乘组顺利打开舱门，迎接神舟十八号航天员乘组入驻“天宫”。若神舟十八号载人飞船绕地球的运动看做匀速圆周运动，周期为T，离地高度为h，已知地球半径为R，引力常量为G，则（　　）

A、神舟十八号载人飞船的运行速度大于7.9 km/s B、地球的质量为 $\frac{2 π （ R + h ）^{3}}{G T^{2}}$ C、地球表面重力加速度为 $\frac{4 π^{2} （ R + h ）^{3}}{R^{2} T^{2}}$ D、若离地高度增大为2h，神舟十八号载人飞船运行周期将会减小

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5. 2022年6月5日，我国神舟十四号载人飞船成功发射。已知飞船质量为m，地球质量为M，地球半径为R。万有引力常量为G，当飞船离地面的高度为h时，飞船与地球之间的万有引力大小为（）

A、 $G \frac{M m}{h^{2}}$ B、 $G \frac{M m}{R^{2}}$ C、 $G \frac{M m}{{(R + h)}^{2}}$ D、 $G \frac{M m}{{(R - h)}^{2}}$

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6. 如图所示，是卡文迪什测量万有引力常数的实验示意图，根据胡克定律及转动理论可知，两平衡球受到的等大反向且垂直水平平衡杆的水平力F与石英丝N发生扭转的角度 $Δ θ$ 成正比，即 $F = k Δ θ$ ， k的单位为 $N / r a d$ ， $Δ θ$ 可以通过固定在T形架上平面镜M的反射点在弧形刻度尺上移动的弧长求出来，弧形刻度尺的圆心正是光线在平面镜上的入射点，半径为R。已知两平衡球质量均为m ，两施力小球的质量均为 $m^{'}$ ，与对应平衡球的距离均为r ，施加给平衡球的力水平垂直平衡杆，反射光线在弧形刻度尺上移动的弧长为 $Δ l$ ，则测得万有引力常数为（平面镜M扭转角度为 $Δ θ$ 时，反射光线扭转角度为 $2 Δ θ$ ）（）

A、 $\frac{4 k r^{2} \cdot Δ l}{R m m^{'}}$ B、 $\frac{2 k r^{2} \cdot Δ l}{R m m^{'}}$ C、 $\frac{k r^{2} \cdot Δ l}{R m m^{'}}$ D、 $\frac{k r^{2} \cdot Δ l}{2 R m m^{'}}$

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7. 土星的部分卫星绕土星的运动可视为匀速圆周运动，其中的两颗卫星轨道半径分别为， $r_{1} 、 r_{2}$ 且 $r_{1} \neq r_{2}$ ，向心加速度大小分别为 $a_{1} 、 a_{2}$ ，则（　　）

A、 $\frac{a_{1}}{r_{1}} = \frac{a_{2}}{r_{2}}$ B、 $\frac{a_{1}}{{r_{1}}^{2}} = \frac{a_{2}}{{r_{2}}^{2}}$ C、 $a_{1} r_{1} = a_{2} r_{2}$ D、 $a_{1} r_{1}^{2} = a_{2} {r_{2}}^{2}$

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8. 在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体（图中未画出）质量为m（m << M），若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则（）

A、c的线速度大小为a的 $\sqrt{3}$ 倍 B、c的向心加速度大小为b的一半 C、c在一个周期内的路程为2πr D、c的角速度大小为 $\sqrt{\frac{G M}{8 r^{3}}}$

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9. 嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　）

A、 $\frac{3 π (1 + k)^{3}}{G T^{2} k^{3}}$ B、 $\frac{3 π}{G T^{2}}$ C、 $\frac{π (1 + k)}{3 G T^{2} k}$ D、 $\frac{3 π}{G T^{2}} (1 + k)^{3}$

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10. 已知地球质量为M，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G。用上述物理量计算地球的第一宇宙速度是（　　）

A、 $\sqrt{g R}$ B、 $\sqrt{\frac{G M}{g}}$ C、 $\frac{\sqrt{G M}}{R}$ D、 $\frac{G M}{R}$

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11. 我国高分系列卫星的高分辨率，为现代农业、防灾减灾、环境监测等提供了可靠稳定的卫星数据支持。系列卫星中的“高分四号”轨道高度约为36000km、“高分五号”轨道高度约为705km，它们都绕地球做匀速圆周运动。与“高分五号”相比，“高分四号”有较大的（　　）

A、周期 B、角速度 C、线速度 D、向心加速度

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12. 2020年7月23日，我国在中国文昌航天发射场，成功发射首次火星探测任务天问一号探测器，目前系统状态良好，将于2021年2月抵达火星。已知火星半径约为地球半径的二分之一，质量约为地球质量的十分之一，近地卫星绕地球运行速度大小为v。若天问一号探测器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动，其速度大小约为（　　）

A、 $5 v$ B、 $\frac{1}{5} v$ C、 $\sqrt{5} v$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5} v$

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二、多项选择题

13. 万有引力作用下的物体具有引力势能，取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为r时的引力势能为E_p = - G $\frac{M m}{r}$ （G为引力常量，M、m分别为星球和物体的质量），在一半径为R的星球上，一物体从星球表面某高度处自由下落(不计空气阻力)，自开始下落计时，得到物体在星球表面下落高度H随时间t变化的图象如图所示，则（）

A、在该星球表面上以 $\frac{1}{t_{0}} \sqrt{2 h R}$ 的初速度水平抛出一物体，物体将不再落回星球表面 B、在该星球表面上以 $\frac{2}{t_{0}} \sqrt{h R}$ 的初速度水平抛出一物体，物体将不再落回星球表面 C、在该星球表面上以 $\frac{1}{t_{0}} \sqrt{2 h R}$ 的初速度竖直上抛一物体，物体将不再落回星球表面 D、在该星球表面上以 $\frac{2}{t_{0}} \sqrt{h R}$ 的初速度竖直上抛一物体，物体将不再落回星球表面

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14. 太阳系有八大行星，离太阳由近至远的行星分别为水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星，如图所示。下列说法正确的是（）

A、水星的周期小于海王星的周期 B、金星的加速度小于木星的加速度 C、地球的线速度小于水星的线速度 D、火星的角速度小于天王星的角速度

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15. 下图中a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是（　　）

A、b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度 B、b、c的向心加速度大小相等，且小于a的向心加速度 C、c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的c D、a卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将减小

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16. 如图是2023年清华大学摄影爱好者成功拍摄到的中国空间站“凌月”画面。空间站与月球在同一轨道平面且绕行方向相同，在地球上观测月球时看到空间站在月球前面快速掠过的过程即为“凌月”过程，整个过程持续时间极短，仅约半秒钟。已知地球半径为 $R_{地}$ ，月球半径为 $R_{月}$ ，空间站绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r，月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球表面的重力加速度为g，引力常数为G，则下列说法正确的是（）

A、月球绕地球运动的轨道半径为 $\sqrt[3]{\frac{g R_{地}^{2} T^{2}}{4 π^{2}}}$ B、地球的质量为 $\frac{4 π^{2} r^{3}}{G T^{2}}$ C、空间站绕地球运动周期大于T D、再次出现空间站凌月现象的时间为 $\frac{2 π T r \cdot \sqrt{r}}{T R_{地} \sqrt{g} - 2 π r \sqrt{r}}$

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17. 下图中四幅图片涉及物理学史上的四个重大发现，下列说法正确的是（　　）

A、甲图，亚里士多德根据理想斜面实验，提出了力不是维持物体运动的原因 B、乙图，牛顿通过引力扭秤实验，测定出了万有引力常量 C、丙图，伽利略通过实验加推理的研究方法得到自由落体的速度与时间成正比 D、丁图，开普勒通过大量天文观测数据总结了行星运动的规律

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三、非选择题

18. 1798年，卡文迪许在《伦敦皇家学会哲学学报》论文中发表了“扭秤”的思想，如图1所示。

(1)、卡文迪许扭秤实验采用的主要研究方法是（）

A、控制变量法 B、累积法 C、转换研究对象法 D、放大法

(2)、关于卡文迪许扭秤实验下列说法正确的是（）

A、大球和小球之间的距离和其尺寸数量级相当，不可当作质点，万有引力定律不适用 B、扭秤装在封闭的箱子里是为了防止空气不均匀受热引起的气流对微小力测量的干扰 C、卡文迪许利用扭秤测定了万有引力常数的数值，被称为第一个测量地球质量的人 D、大球和小球除了相互之间的引力之外还会受到重力，重力对该实验的测量有影响

(3)、卡文迪许扭秤的某种现代简化模型如图2所示，两个质量为 $m_{1}$ 的小球固定在一根总长度为L的轻杆两端，用一根石英悬丝将轻杆水平的悬挂起来，距离小球r处放置两个质量为 $m_{2}$ 的大球。根据万有引力定律，固定小球的轻杆会受到一个力矩而转动，从而使石英悬丝扭转。引力力矩与悬丝的弹性恢复力矩大小相等，已知引力力矩大小可以表示为引力的大小乘以作用点到支点的距离，弹性恢复力矩可以表示为常数k乘以悬丝旋转角。激光水平入射到固定于悬丝上的平面镜上，弧形标尺到平面镜的距离为d。从静止释放轻杆到最终平衡的过程中，弧形标尺上反射光点移动的距离为s ，则万有引力常数的表达式为 $G =$ ．（用题干中已知的物理量表示）

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19. 螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。
（1）求 $r > R$ 区域的恒星做匀速圆周运动的角速度大小 $ω$ 与r的关系；
（2）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。求 $r \leq R$ 区域的恒星做匀速圆周运动的角速度大小 $ω_{0}$ ；
（3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的角速度大小 $ω$ 随 $\frac{1}{r}$ 的变化关系图像，如图所示。根据在 $r > R$ 范围内的恒星角速度大小与距离r的倒数成正比，科学家预言螺旋星系周围（ $r > R$ ）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求 $r = n R$ 内暗物质的质量 $M^{'}$ 。

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20. 已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，地球自转的周期为T ，试求地球同步卫星的向心加速度大小。

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21. 中国空间站的机械臂具有七个自由度，类似于人类手臂的灵活性，可实现抓取、拖拽、爬行、对接等功能。如图所示，在长为d的机械臂作用下，微型卫星、空间站、地球位于同一直线，伸直的机械臂沿该直线方向抓住微型卫星，微型卫星与空间站一起做角速度为 $ω$ 的匀速圆周运动。已知地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，微型卫星质量为m，空间站轨道半径为r，求：
（1）在轨运行时，空间站的线速度 $v_{1}$ 和微型卫星的线速度 $v_{2}$ 之比；
（2）机械臂对微型卫星的作用力大小F；（忽略空间站与卫星之间的万有引力以及机械臂对空间站的作用力，用m，g，R，r，d表示）
（3）物体在引力场中具有的势能叫做引力势能。若取无穷远处为引力势能零点，质量为m的物体在地球引力场中具有的引力势能为 $E_{p} = - \frac{G M m}{r}$ （式中G为引力常量，M为地球的质量，r为物体到地心的距离）。若让机械臂松开卫星，通过控制卫星上自带的火箭发动机，使卫星由当前半径为r的圆轨道变轨到离地球更远的半径为 $r^{'}$ 的圆轨道，则在此过程中，万有引力对卫星做的功为多少？（用g、R、m、r、 $r^{'}$ 表示）

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22. 高空遥感探测卫星在距地球表面高为R处绕地球做圆周运动，已知该卫星的质量为m，地球半径为R，地球表面重力加速度大小为g，万有引力常量为G。求：
（1）这颗卫星运行的运行速度大小v；
（2）这颗卫星绕地球做圆周运动的周期T；

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23. 某同学为探月宇航员设计了如下实验：在月球表面高h处以初速度 $v_{0}$ 水平抛出一个物体，然后测得该物体的水平位移为x。通过查阅资料知道月球的半径为R ，引力常量为G ，若物体只受月球引力的作用，求：

(1)、月球表面的重力加速度9月；

(2)、月球的质量M；

(3)、月球的第一宇宙速度速度v。

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24. “嫦娥七号”探测器在2019年1月14日发射升空，已知月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g_月，引力常量为G，若嫦娥四号运行轨道看作圆轨道，离月球中心的距离为r，求：

(1)、月球的质量M；

(2)、嫦娥四号的运行周期T；

(3)、月球上的第一宇宙速度v。

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25. 利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。
（1）已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，求地球的第一宇宙速度v。
（2）开普勒第三定律指出：所有行星轨道的半长轴a的三次方跟它的公转周期T的二次方的比都相等，即 $\frac{a^{3}}{T^{2}} = k$ ，比值k是一个对所有行星都相同的常量。
已知月球绕地球做圆周运动的半径为 $r_{1}$ 、周期为 $T_{1}$ ；探月卫星绕月球做圆周运动的半径为 $r_{2}$ 、周期为 $T_{2}$ 。小明认为，若不计周围其他天体的影响，根据开普勒第三定律可以得到 $\frac{r_{1}^{3}}{T_{1}^{2}} = \frac{r_{2}^{3}}{T_{2}^{2}}$ 。请通过推导分析小明的观点是否正确。
（3）物体间由于存在万有引力而具有的势能称为引力势能。若取物体距离地心无穷远处引力势能为零，质量为m的物体距离地心为r时的引力势能 $E_{p} = - G \frac{M m}{r}$ ，式中M为地球的质量，G为引力常量。
材料：空间站在距离地心约6770km的轨道绕地球飞行。如果没有外力干扰，它会稳定地绕地球运动。然而空间站的轨道属于近地轨道，那里存在稀薄的大气，受微弱大气阻力的影响，空间站的高度会缓慢下降。由于阻力很小，空间站下降的高度远小于其轨道半径，例如我国空间站受大气阻力的影响1年下降的高度约为30km。
已知万有引力常量为G，地球的质量为M，空间站的质量为m，空间站最初运行的轨道半径为 $r_{1}$ ，由于阻力的影响，经过一段时间t后的轨道半径减小为 $r_{2}$ 。求：
a.时间t内空间站损失的机械能 $Δ E$ ；
b.空间站受到的微弱阻力f的大小。

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