浙江省宁波市海曙区四校联考2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-11-12 类型：期中考试

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一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列图形中是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知 $a > b$ ，下列结论不一定成立的是（）

A、 $a + 3 > b + 3$ B、 $4 a > 4 b$ C、 $a c^{2} > b c^{2}$ D、 $- a < - b$

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3. 下列长度的三段钢条，能组成一个等腰三角形框架的是（单位：cm）（）

A、2，3，4 B、3，7，7 C、2，2，6 D、5，6，7

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4. 对于命题“若a²＞b² ，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）

A、a=3，b=2 B、a=-3，b=2 C、a=3，b=-1 D、a=-1，b=3

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5. 如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1∶以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2∶以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3∶连接AD，交BC延长线于点H．
下列叙述正确的是( )

A、BH垂直平分线段AD B、AC平分∠BAD C、S_△_ABC=BC⋅AH D、AB=AD

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6. 如图，在ΔABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，ΔABC的面积为10，AB=6，DE=2，则AC的长是（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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7. 点 $C$ 在第二象限，距离 $x$ 轴 $3$ 个单位长度，距离原点5个单位长度，则点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(- 3, 5)$ B、 $(- 3, 4)$ C、 $（ 5, 3 ）$ D、 $(- 4, 3)$

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8. 把一些书分给几名同学，若每人分9本，则书本有剩余，条件*.若根据题意，设有 $x$ 名同学，可得到符合题意的不等式 $5 (x + 3) > 9 x$ ，则“条件*”可以是（）

A、每人分5本，则剩余3本 B、每人分5本，则剩余的书可多分给3个人 C、每人分5本，则还差3本 D、其中一个人分5本，则其他同学每人可分3本

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9. 如图，在等边 $△ A B C$ 中，点D在 $A C$ 边上，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 翻折，得到 $△ E B D$ ，若 $B E ⊥ A C$ ，则 $∠ D C E$ 的度数为（）

A、 $12 °$ B、 $15 °$ C、 $18 °$ D、 $20 °$

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10. 如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ．分别以 $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$ 为边在 $A B$ 的同侧作正方形 $A B E F$ 、 $A C P Q$ 、 $B C M N$ ．四块阴影部分的面积如图所示分别记为 $S$ 、 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3} .$ 若 $S = 10$ ，则 $S_{1} + S_{2} + S_{3}$ 等于（）

A、10 B、15 C、20 D、30

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二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）

11. 命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是命题．（填入“真”或“假”）

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12. 直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是．

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13. 如图， $∠ B = ∠ D = 90 °$ ，请添加一个条件 $($ 不得添加辅助线 $)$ ，使得 $△ A B C ≌ △ A D C$ 那么可添加条件为

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14. 不等式组 $\{\begin{matrix} 3 x - 9 > 0 \\ x > k + 1 \end{matrix}$ 的解集为 $x > 3$ ，则 $k$ 的取值范围为．

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15. 如图，在方格纸中小正方形的边长为1， $△ A B C$ 的三个顶点都在小正方形的格点上， $△ A B C$ 的面积是，点A到BC边的距离为．

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16. 如图，已知点 $P$ 为 $∠ A O B$ 的角平分线上的一点，点 $D$ 在边 $O A$ 上．在边 $O B$ 上取一点 $E$ ，使得 $P E = P D$ ，设 $∠ O E P$ 为 $α$ ， $∠ O D P$ 为 $β$ ， $α$ 与 $β$ 的数量关系是．

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17. 如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于E．若∠ABC＝52°，∠C＝32°，AB＝5.2，BC＝9.8，则AE＝．

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18. 如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP， $∠ A C P = α < 60 °$ ，点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE，若 $A E = 3$ ， $C E = 4$ ，则 $∠ B E C =$ ， $B D =$ ．

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三、解答题（本题共6小题，19题6分，20题6分，21题8分，22题8分，23题8分，24题10分）

19. 解不等式组 $\{\begin{array}{l} 2 x + 1 > 3 x - 1 \\ \frac{3 x}{4} - 1 < x \end{array}$ ，并将其解集表示在数轴上．

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20. 如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．

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21. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点坐标 $A (- 1, 5)$ ， $B (- 1, 0)$ ， $C (- 4, 4)$ ．

(1)、图中画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1} ($ 其中 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ 分别是 $A, B, C$ 的对应点，不写画法 $)$ ；

(2)、写出 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 三点的坐标： $A_{1} ($ ______ $)$ ， $B_{1} ($ ______ $)$ ， $C_{1} ($ ______ $)$ ；

(3)、在y轴上找一点 $P$ ，使得 $P A + P B$ 最小，这个最小值为______．

(4)、若线段 $A B$ 上存在点D，连结 $C D$ ，满足 $∠ A C D = ∠ A B C$ ，则D点坐标为： $D ($ ______ $)$ ．

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22. 为了庆祝国庆，学校准备举办“我和我的祖国”演讲比赛．学校计划为比赛购买A、B两种奖品．已知购买1个A种奖品和4个B种奖品共需120元；购买5个A种奖品和6个B种奖品共需250元．

(1)、求A，B两种奖品的单价．

(2)、学校准备购买A，B两种奖品共60个，且B种奖品的数量多于A种奖品数量的 $\frac{1}{3}$ ，购买预算不超过1285元，请问学校有哪几种购买方案．

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23.

(1)、【问题发现】如图1， $△ A B C$ 与 $△ C D E$ 中， $∠ B = ∠ E = ∠ A C D = 90 °, A C = C D$ ， B、 $C$ 、 $E$ 三点在同一直线上， $A B = 3$ ， $E D = 4$ ，则 $B E =$ ．

(2)、【问题提出】如图2，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °, B C = 4$ ，过点 $C$ 作 $C D ⊥ A C$ ，且 $C D = A C$ ，求 $△ B C D$ 的面积．

(3)、【问题解决】如图3，四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ C A B = ∠ A D C = 45 °$ ， $△ A C D$ 面积为 $12$ 且 $C D$ 的长为6，求 $△ B C D$ 的面积．

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24. 概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形 $($ 不是等腰三角形 $)$ 一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．

(1)、理解概念：判断下列说法是否正确（对的打√，错的打×）
①全等三角形是“等角三角形”（）
②如图 $1$ ，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ ，图中共有2对“等角三角形”（）
③如图 $1$ ，在 $Rt △ A B C$ 中， $A C \neq B C ， ∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ ，无论 $∠ A$ 为何值， $C D$ 都不可能是 $△ A B C$ 的“等角分割线”（）

(2)、概念应用：如图 $2$ ，在 $△ A B C$ 中， $C D$ 为角平分线， $∠ A = 40 °$ ， $∠ B = 60 ° .$ 求证： $C D$ 为 $△ A B C$ 的等角分割线．

(3)、在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 24 °$ ， $C D$ 是 $△ A B C$ 的等角分割线，直接写出 $∠ A C B$ 的度数．

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