浙江省金华市东阳市横店八校联考2024-2025学年八年级上学期开学数学试题

试卷更新日期：2024-08-31 类型：开学考试

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1. 如图， $∠ 1$ 和 $∠ 2$ 是一对（）

A、同位角 B、同旁内角 C、内错角 D、对顶角

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2. 下列变形是因式分解的是（）

A、 $x^{2} - 5 x + 6 = x (x - 5) + 6$ B、 $x^{2} - 5 x + 5 = x^{2} - 5 (x - 1)$ C、 $(x - 2) (x - 3) = x^{2} - 5 x + 6$ D、 $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$

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3. 已知某细菌直径为0.000000072毫米，其中数0.000000072用科学记数法表示为（）

A、 $7.2 \times 10^{- 7}$ B、 $7.2 \times 10^{- 8}$ C、 $7.2 \times 10^{- 9}$ D、 $0.72 \times 10^{- 9}$

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4. 要对一大批刚生产出来的乒乓球质量进行检验，下列做法比较合适的是（）

A、从中抽取 1 个进行检验 B、从中抽取少数几个进行检验 C、把所有乒乓球逐个进行检验 D、从中按抽样规则抽取一定数量的乒乓球进行检验

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $x^{2} \cdot 2 x^{2} = 2 x^{4}$ B、 $x^{6} \div x^{3} = x^{2}$ C、 ${(- 2 x^{2})}^{3} = - 6 x^{6}$ D、 $(- x)^{6} \div x^{2} = - x^{4}$

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6. 若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x}{x - 3} - 2 = \frac{m}{x - 3}$ 有增根，则 $m$ 的值为（）

A、3 B、0 C、 $- 3$ D、2

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7. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如下图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若 $∠ 1 = 45 °$ ， $∠ 2 = 120 °$ ，则 $∠ 3 + ∠ 4$ 的度数是（　　）

A、 $95 °$ B、 $100 °$ C、 $105 °$ D、 $120 °$

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8. 若关于x，y的方程组 $\{\begin{cases} 2 x + y = 5 a \\ x - 2 y = a \end{cases}$ 的解为 $\{\begin{array}{l} x = m \\ y = n \end{array}$ ，则 $\frac{m + 3 n}{3 m - n}$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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9. 任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最优分解，并规定：F（n）＝ $\frac{p}{q}$ .例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，这时就有F（24）＝ $\frac{4}{6}$ ＝ $\frac{2}{3}$ .给出下列关于F（n）的说法：①F（6）＝ $\frac{2}{3}$ ；②F（16）＝1；③F（n²﹣n）＝1﹣ $\frac{1}{n}$ ；④若n是一个完全平方数，F（n）＝1.其中说法正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为 $l_{1}$ ，面积为 $S_{1}$ ；图2中阴影部分周长为 $l_{2}$ ，面积为 $S_{2}$ ，若 ${(\frac{l_{2} - l_{1}}{2})}^{2} = 3 (S_{2} - S_{1})$ ，则b与c满足的关系为（）

A、 $3 b = 5 c$ B、 $b = 2 c$ C、 $3 b = 7 c$ D、 $6 b = 7 c$

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二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11. 因式分解： $x^{2} - x =$ ．

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12. 已知方程 $2 x + y = 5$ ，用含 $x$ 的代数式表示 $y$ ，则 $y =$

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13. 若关于 $x$ ， $y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} x + y = c_{1} \\ 3 x - 4 y = c_{2} \end{array}$ 的解为 $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = - 3 \end{array}$ ，则关于 $x$ ， $y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} x + 1 + y - 1 = c_{1} \\ 3 (x + 1) - 4 (y - 1) = c_{2} \end{array}$ 的解为

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14. 若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x}{x - 3} = \frac{m x - 2}{9 - x^{2}} + 1$ 无解，则 $m$ 的值为．

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15. 将多项式 $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 变形为 $a {(x + m)}^{2} + n$ 的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如： $x^{2} - 4 x - 5 = x^{2} - 4 x + 2^{2} - 2^{2} - 5 = {(x - 2)}^{2} - 9$ ，
$∵$ ${(x - 2)}^{2} \geq 0$ ， $∴$ ${(x - 2)}^{2} - 9 \geq - 9$ ， $∴$ 当 $x = 2$ 时，多项式 $x^{2} - 4 x - 5$ 有最小值 $- 9$ ．
已知 $a$ ， $b$ 为实数，多项式 $(x + 3) (3 x + a)$ 展开后 $x$ 的一次项系数为 $m$ ，多项式 $(3 x + 2) (x + b)$ 展开后 $x$ 的一次项系数为 $n$ ，且 $m$ ， $n$ 均为正整数，则当 $m + n = 17$ 时， $a b$ 的最大值为．

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16. 某小组开展平行线性质探究时将一副三角板按图1方式放在两条平行线 $A B$ 、 $C D$ 之间，其中点E、F在直线 $A B$ 上，点H、N在直线 $C D$ 上， $∠ E G H = ∠ F M N = 90 °$ ， $∠ G E H = 45 °$ ， $∠ M F N = 30 °$ ．记 $∠ A E G = ∠ 1$ ， $∠ G H C = ∠ 2$ ， $∠ M N D = ∠ 3$ ， $∠ B F M = ∠ 4$ ．
（1）比较大小： $∠ 1 + ∠ 2$ $∠ 3 + ∠ 4$ ．（填“ $>$ ”或“ $<$ ”或“ $=$ ”）
（2）如图2， $∠ E F N$ 的平分线 $F P$ 交直线 $C D$ 于点P，记 $∠ E H D = α (0 ° < α < 90 °)$ ， $∠ F P N = β$ ．现保持三角板 $E G H$ 不动，将三角板 $F M N$ 从如图位置向左平移，若在运动过程中 $M N$ 与 $E H$ 始终平行， $α$ 与 $β$ 满足的数量关系为．

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三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）

17. 计算：

(1)、 ${(- 2)}^{- 2} + {(\sqrt{2024} - 1)}^{0} - {(- 1)}^{2024}$ ；

(2)、 $(2 m - 1) (1 + 2 m) - {(2 m - 1)}^{2}$ ．

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18. 解下列方程 (组) ：

(1)、 $\{\begin{array}{l} x + 2 y = 5 \\ x - y = - 1 \end{array}$ ；

(2)、 $\frac{2}{x - 1} + 1 = \frac{4}{3 - 3 x}$ .

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19. 化简： $(\frac{3 x}{x + 1} - \frac{x}{x - 1}) \div \frac{x - 2}{x^{2} - 1}$ ，并请在 $x = - 1$ ， $0$ ， $1$ ， $2$ 中选取一个合适的数代入求值．

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20. 某校在市卫生健康局、教育局联合举办的“5.20中国学生营养日”活动带领下举行了七年级学生“健康菜谱”设计活动，让学生能设计一份健康菜谱，菜谱需符合“减油、增豆、加奶”的原则．现收集了七年级2班同学们设计的菜谱，并将菜中的主要食材分类、整理成图表，下面给出了部分信息：
根据以上信息回答下列问题：

(1)、七年级2班共有人，并补全条形统计图．

(2)、“谷物”所对应的扇形圆心角度数为度．

(3)、若该校七年级学生共1200人，则选择“蔬果”作为主要食材的学生约有多少人？

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21. 如图，点E、F、G分别在直线 $C D$ 、 $A B$ 、 $A D$ 上， $E F$ 交 $A D$ 于点 $G$ ，已知 $∠ A = ∠ D$ ， $∠ C E F + ∠ B = 180 °$ ．

(1)、 $E F$ 与 $B H$ 平行吗？请说明理由；

(2)、若 $∠ D G E = 110 °$ ，求 $∠ B H D$ 的度数．

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22. 基础体验：（1）若实数a，b满足 $a + b = 4$ ， $a b = 3$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值
进阶实践：（2）若实数x满足 $x (10 - x) = 48$ ，求 $x^{2} + {(10 - x)}^{2}$ 的值．
高阶探索：（3）如图，已知正方形 $A E G F$ 与正方形 $A B C D$ 的面积之和为65， $B E = 3$ ，求长方形 $A B H F$ 的面积．

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23. 根据以下素材，探索完成任务：

素材1	某校“半亩方塘”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地，已知围栏的横杠长为 $20 dm$ ，竖杠长为 $8 dm$ ，一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成．
素材2	为了深度参与学校蔬菜基地的建立，劳动实践小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏，已知这种规格的围栏材料每根长为 $60 dm$ ，价格为50元/根．
解决问题
	任务要求	解决办法
任务1	一根 $60 dm$ 长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废）	方法①：当只裁剪 $8 dm$ 长的用料时，最多可裁剪______根．方法②：当先裁剪下1根 $20 dm$ 长的用料时，余下部分最多能裁剪 $8 dm$ 长的用料______根．方法③：当先裁剪下2根 $20 dm$ 长的用料时，余下部分最多能裁剪 $8 dm$ 长的用料______根．
任务2	要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为 $160 dm$ （即需要制作8副围栏，需要的用料为：16个横杠，40个竖杠）．	劳动实践小组打算用“任务1”中的方法②和方法③完成裁剪任务，请计算：分别用“任务1”中的方法②和方法③各裁剪多少根长 $60 dm$ 的围栏材料，才能恰好得到所需要的相应数量的用料？
任务3	劳动实践小组准备优化围栏：将横杠材料由每根 $20 dm$ 调整为每根 $16 dm$ ，再将其中两根竖杠材料由每根 $8 dm$ 调整为每根 $10 dm$ （其它三根竖杠长度不变）．	若要搭建任务2中所需的围栏长度（ $160 dm$ ），每根 $60 dm$ 的材料恰好可裁下2根 $16 dm$ 、a根 $8 dm$ 、b根 $10 dm$ 的用料（无剩余）或者若干根 $8 dm$ 的用料（可剩余）．问：购买 $60 dm$ 的材料至少需要多少费用？若材料有剩余，请求出剩余材料的长度，（剩余材料不可拼接）

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24. 如图1，将一张宽度相等的纸条（ $A D ∥ B C$ ）按如图所示方式折叠，记点C，D的对应点分别为 $C^{'}$ ， $D^{'}$ ，折痕为 $E F$ ，且 $C^{'} E$ 交 $A D$ 于点G．

(1)、若 $∠ A G C^{'} = 128 °$ ，则 $∠ F E C =$ ______度．

(2)、如图 $2$ ，在（1）的条件下，将四边形 $G F D^{'} C^{'}$ 沿 $G F$ 向下翻折，记 $C^{'}$ ， $D^{'}$ 的对应点分别为 $C^{″}$ ， $D^{″}$ ．再将长方形 $A B C D$ 沿着 $P Q$ 翻折，记 $A ， B$ 的对应点分别为 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ，折痕为 $P Q$ （点 $P$ 在 $B C$ 上，点 $Q$ 在 $A D$ 上）．若 $A^{'} B^{'} ∥ C^{″} D^{″}$ ，求 $∠ B P Q$ 的度数．

(3)、如图 $3$ ，分别作 $∠ A G E$ ， $∠ B E G$ 的平分线交于点 $M$ ，连结 $G M ， E M ， B M ，$ 作 $∠ B M E$ 的平分线交 $B E$ 于点 $N$ ，延长 $G M$ 交 $B E$ 于点 $Q$ ．若 $∠ M B E = 8 °$ ， $∠ F G C^{″}$ 比 $∠ G F E$ 多27°，求 $∠ Q M N$ 的度数

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