广东省深圳市深圳技术大学附属中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题

试卷更新日期：2024-08-20 类型：月考试卷

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一、单项选择题：每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知角 $α$ 的终边经过点 $(- 4, 3)$ ，则 $cos α$ =（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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2. “ $a > 1$ 且 $b > 1$ ”是“ $\log_{a} b > 0$ ”的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知 $a = - l o g_{2} \frac{1}{5} ， b = l o g_{8} 27 ， c = 1 . 1^{- 0.3}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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4. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{|x|}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知 $\tan α = \frac{3}{2}$ ，则 $\frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + a x + 2 > 0$ 的解集是 $R$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 8)$ B、 $[0, 8)$ C、 $(- \infty, 0) \cup (8, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0] \cup (8, + \infty)$

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7. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a^{x}, & x < 0 \\ (a - 2) x + 3 a, & x \geq 0 \end{array}$ 满足对任意 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] < 0$ 成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{3}]$ B、 $[\frac{3}{4}, 2)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(2, + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = \sqrt[3]{x} + x + 1$ ，若 $f (1 - m) + f (2 m) > 2$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1)$ D、 $(- \infty, 1)$

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二、多项选择题：每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 若函数 $y = a^{x} - b (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象过第一､三､四象限，则参数 $a, b$ 需满足（）

A、 $0 < a < 1$ B、 $a > 1$ C、 $0 < b < 1$ D、 $b > 1$

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10. 下列说法正确的是（）

A、如果 $α$ 是第一象限的角，则 $- α$ 是第四象限的角 B、 $43 °$ 角与 $- 317 °$ 角终边重合 C、若圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形的弧长为 $π$ ，则该扇形面积为 $\frac{2 π}{3}$ D、若 $α$ 是第二象限角，则点 $P (\sin α, \cos α)$ 在第四象限

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11. 若 $a ， b ， c \in R$ ，则下列命题中为真命题的是（）

A、若 $a > b ， c > d$ ，则 $a c > b d$ B、若 $| a | > | b |$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $(a - b) c^{2} > 0$ ，则 $a > b$ D、若 $\frac{1}{b} > \frac{1}{| a |}$ ，则 $a > b$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ B、函数 $f (x)$ 的值域为 $(- 1, 1)$ C、函数 $f (x)$ 的图象关于y轴对称 D、函数 $f (x)$ 在 $R$ 上为减函数

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知 $\sin α = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $α \in (π, \frac{3 π}{2})$ ，则 $\cos α =$ .

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14. 已知 $\lg 2 = a, \lg 3 = b$ ，则 $\log_{6} 15 =$ （结果用a，b表示）.

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15. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2 x^{2}, x < 1, \\ 2^{x}, x \geq 1, \end{matrix}$ 若函数 $y = f (x) - m$ 仅有一个零点，则实数m的值是．

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16. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (x^{2} - a x - a)$ 在区间 $(- \infty, 1 - \sqrt{3}]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知集合 $A = {x | {(\frac{1}{3})}^{x} > \sqrt[4]{27}}$ ，集合 $B = {x | {(x - 1)}^{2} > a^{2}} (a \geq 0)$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分条件，求实数a的取值范围．

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18. 已知幂函数 $f (x) = m^{2} \cdot x^{1 - 3 m}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - a$ 在 $(1 ， 2)$ 上有零点，求 $a$ 的取值范围．

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19. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $2 x + y = 1$ .

(1)、求 $x y$ 的最大值；

(2)、若 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} \geq m^{2} - 2 m$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{a x + b}$ 是定义域上的奇函数，且 $f (- 1) = - 2$ ．

(1)、判断并证明函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上的单调性；

(2)、令函数 $g (x) = f (x) - m$ ，若 $g (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上有两个零点，求实数 $m$ 的取值范围．

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21. 已知指数函数 $f (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象过点 $(3, 8)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $g (x) = f^{2} (x) - 2 f (x) + 5$ 在 $x \in [- 1, 2]$ 上的值域

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22. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = \log_{2} (a - x)$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）若对任意的 $x \in [- 1, 1]$ ，都有不等式 $f (x^{2} - m x + m) + f (2 x^{2} - m x + 2) < 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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