【培优版】浙教版数学九上3.2 图形的旋转同步练习

试卷更新日期：2024-09-10 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转得到 $△ A E D$ ，并使 $C$ 点的对应点 $D$ 点落在直线 $B C$ 上，连接 $B E$ ，若 $E B = 17 ， E D = 8 ， C D = 23$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、 $\frac{23 \sqrt{2}}{2}$ B、15 C、 $\frac{17 \sqrt{3}}{2}$ D、17

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2. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 80 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转得到 $△ E D C$ ，使点 $B$ 的对应点 $D$ 恰好落在 $A B$ 边上， $A C$ 、 $E D$ 交于点 $F$ ．若 $∠ B C D = α$ ，则 $∠ E F C$ 的度数是（）（用含 $α$ 的代数式表示）

A、 $80 ° + \frac{3}{2} α$ B、 $170 ° + \frac{3}{2} α$ C、 $170 ° - \frac{3}{2} α$ D、 $\frac{3}{2} α$

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ，点P是 $A B$ 边上任意一点，将 $△ A C P$ 绕点C逆时针旋转得到 $△ B C Q$ ，点P的对应点为点Q，连接 $P Q$ ，若 $∠ C P Q = 70 °$ ，则 $∠ C B Q$ 的度数是（）

A、 $80 °$ B、 $75 °$ C、 $70 °$ D、 $65 °$

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4. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4， $∠ E A F = 45 °$ ，将 $△ A B E$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转 $90 °$ 得到 $△ A D G$ ．若 $B E = 1$ ，则 $D F$ 的长为（）

A、3 B、 $\sqrt{7}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、4

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5. 如图，将含有 $30 °$ 角的直角三角板 $O A B$ 放置在平面直角坐标系中， $O B$ 在x轴上，若 $A B = 2 \sqrt{3}$ ，将三角板绕原点O顺时针旋转 $90 °$ ，则点A的对应点 $A^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(3 ， 6)$ B、 $(3 ， - 6)$ C、 $(3 ， 3 \sqrt{3})$ D、 $(3 ， - 3 \sqrt{3})$

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6. 如图，正方形 $A B C D$ 的顶点 $A$ 、 $B$ 在 $⊙ O$ 上，顶点 $C$ 、 $D$ 在 $⊙ O$ 内，将正方形 $A B C D$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $α$ ，使点 $C$ 落在 $⊙ O$ 上．若正方形 $A B C D$ 的边长和 $⊙ O$ 的半径相等，则旋转角度 $α$ 等于（）

A、 $36 °$ B、 $30 °$ C、 $25 °$ D、 $22.5 °$

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7. 如图，平行四边形ABCD中，AB＝16，AD＝12，∠A＝60°，E是边AD上一点，且AE＝8，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG ，连接BG、CG ，则BG+CG的最小值是（）

A、4 B、4 $\sqrt{15}$ C、4 $\sqrt{21}$ D、4 $\sqrt{37}$

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8. 如图，∠MAN＝60°，点B、C分别在AM、AN上，AB＝AC ，点D在∠MAN内部、△ABC外部，连接BD、CD、AD ．下列结论：①DB+DC≥DA；②S_△BDC≤ $\frac{1}{2}$ BD•DC；③若DB＝m ， DC＝n ，则S_△ADB≤ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ $m^{2}$ + $\frac{1}{2}$ mn ．其中错误的结论个数为（）个．

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

9. 如图，在△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为．

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10. 如图， $R t △ O A B$ 的顶点 $A (- 2，4)$ 在抛物线 $y = a x^{2}$ 上，将 $R t △ O A B$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ O C D$ ，边 $C D$ 与该抛物线交于点 $P$ ，则点 $P$ 的坐标为．

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11. 如图，点A ， C分别是y轴，x轴正半轴上的动点， $A C = 1$ ，将线段 $A C$ 绕点A顺时针旋转60°得到线段 $A B$ ，则 $O B$ 的最小值是．

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12. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝6，点D在BC边上，将点A绕点D顺时针旋转90°得到点E，连接DE，CE．当△DCE是等腰三角形时，BD的长为．

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三、解答题

13. 已知线段 $A B$ 和点 $C$ ，将线段 $A C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $α (0 ° < α < 90 °)$ ，得到线段 $A D$ ，将线段 $B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $180 ° - α$ ，得到线段 $B E$ ，连接 $D E ， F$ 为 $D E$ 的中点，连接 $A F ， B F$ ．

(1)、如图1，点 $C$ 在线段 $A B$ 上，依题意补全图1，直接写出 $∠ A F B$ 的度数；

(2)、如图2，点 $C$ 在线段 $A B$ 的上方，写出一个 $α$ 的度数，使得 $A F = \sqrt{3} B F$ 成立，并证明．

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14. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，将 $R t △ A B C$ 绕点A逆时针旋转得到 $R t △ A B^{'} C^{'}$ ， $A B$ 与 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 交于点D ， $A C^{'}$ 与 $B C$ 交于点E ， $B C$ 与 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 交于点F ，当B、D、F重合时停止旋转．

(1)、证明：在旋转过程中 $∠ B F D = ∠ C^{'} A C$ ；

(2)、如图1，当 $A B$ 平分 $∠ B^{'} A C^{'}$ 时，证明： $A E + B D = A B^{'}$ ；

(3)、如图2，若 $B C = 5$ ， $A C = 4$ ，在旋转过程中，当 $△ A B E$ 是等腰三角形时，求该等腰三角形底边的长度．

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四、实践探究题

15. 如图
图1 图2 图3

(1)、【特例感知】如图 $1$ ，点 $C_{1}$ 是正方形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 上一点， $C_{1} B_{1} ⊥ A B$ 于点 $B_{1}$ ， $C_{1} D_{1} ⊥ A D$ 于点 $D_{1}$ .
①求证：四边形 $A B_{1} C {}_{1}D_{1}$ 是正方形；
② $B B_{1} ： C C_{1} ： D D_{1}$ = ▲ ；

(2)、【规律探究】将正方形 $A B_{1} C_{1} D_{1}$ 绕点 $A$ 旋转得到图 $2$ ，连接 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ .
$B B_{1} ： C C_{1} ： D D_{1}$ 的比值是否会发生变化？说明理由；

(3)、【拓展应用】如图 $3$ ，在图 $2$ 的基础上，点 $B_{2}$ ， $C_{2}$ ， $D_{2}$ 分别是 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 的中点；四边形 $A B_{2} C_{2} D_{2}$ 是否是正方形？说明理由.

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16. 综合与探究．

(1)、【问题情境】
数学活动课上，老师带领同学们一起探索旋转的奥秘．老师出示了一个问题：如图1所示，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $D$ 是边 $B C$ 上一点（ $0 < B D < \frac{1}{2} B C$ ），连接AD，将△ABD绕着点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，得到△ACE．
连接 $D E$ ，试判断 $△ A D E$ 的形状，并说明理由；

(2)、【深入探究】
希望小组受此启发，如图2，在线段 $C D$ 上取一点 $F$ ，连接 $A F$ ，使得 $∠ D A F = 45 °$ ，连接 $E F$ ，发现 $E F$ 和 $D F$ 有一定的关系，猜想两者的数量关系，并说明理由；

(3)、智慧小组在图2的基础上继续探究，发现 $C F$ ， $D F$ ， $D B$ 三条线段之间也有一定的数量关系，请写出它们的数量关系，并说明理由．

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五、综合题

17. 综合与实践：如图（1），已知点E为正方形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 上一动点（不与点C重合），连接 $B E$ ．

(1)、实践与操作：在图中，画出以点B为旋转中心，将线段 $B E$ 逆时针旋转 $90 °$ 的线段 $B F$ ，并且连接 $A F$ ．

(2)、观察与猜想：
观察图（1），猜想并推理可以得到以下结论：
结论1， $A F$ 和 $C E$ 之间的位置关系是；
结论2， $A F$ 和 $C E$ 之间的数量关系是．

(3)、探究与发现：
①如图（2），若点E在 $C A$ 延长线上时，（2）中的两个结论是否仍然成立，说明理由．
②如图（2），若 $A E = 1$ ， $A F = 6$ ，请直接写出 $A B$ 的长．

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18. 如图①所示，将一个边长为2的正方形 $A B C D$ 和一个长为2、宽为1的长方形 $C E F D$ 拼在一起，构成一个大的长方形 $A B E F$ ．现将小长方形 $C E F D$ 绕点C顺时针旋转至长方形 $C E^{'} F^{'} D^{'}$ ，旋转角为 $α$ ．

(1)、当点 $D^{'}$ 恰好落在 $E F$ 边上时，求旋转角 $α$ 的值；

(2)、如图②，G为 $B C$ 中点，且 $0 ° < α < 90 °$ ，求证： $G D^{^{'}} = E^{^{'}} D$ ；

(3)、小长方形 $C E F D$ 绕点C顺时针旋转一周的过程中， $△ D C D^{'}$ 与 $△ C B D^{'}$ 能否全等？若能，直接写出旋转角 $α$ 的值；若不能，说明理由．

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【培优版】浙教版数学九上3.2 图形的旋转 同步练习

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、实践探究题

五、综合题

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