四川省绵阳市涪城区2024-2025学年九年级上学期开学数学试题

试卷更新日期：2024-09-06 类型：开学考试

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一、选择题（共36分）

1. 下列式子中属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{9}$ C、 $\sqrt{40}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{5}}$

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2. 某班五个合作学习小组的人数分别如下：5，5， $x$ ， 6，8，已知这组数据的平均数是6，则 $x$ 的值是（）

A、5 B、 $5.5$ C、6 D、7

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3. 下列各组数中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（）

A、7、23、25 B、3、4、5 C、 $\sqrt{3}$ 、2、 $1$ D、0.5、1.2、1.3

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4. 若二次根式 $\sqrt{3 - 2 x}$ 有意义，则x的取值范围是（）．

A、 $x \geq \frac{3}{2}$ B、 $x \leq \frac{3}{2}$ C、 $x > \frac{3}{2}$ D、 $x < \frac{3}{2}$

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5. 已知正比例函数y=mx的图象过第一、三象限，则m的取值范围是（　　）

A、m<0 B、m≤0 C、m≥0 D、m>0

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6. 下列等式从左到右的变形过程正确的是（）

A、 $a - b = (\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})$ B、 $\sqrt{a^{2}} + \sqrt{b^{2}} = a + b$ C、 $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a b}}{b}$ D、 ${(\sqrt{a})}^{2} = a$

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7. 如图，四边形 $A B C D$ 的对角线交于点 $O$ ，下列能判断四边形 $A B C D$ 是平行四边形的是（）

A、 $O A = O C$ ， $A B = C D$ B、 $A B ∥ C D$ ， $∠ B A C = ∠ A C D$ C、 $∠ B A D = ∠ B C D$ ， $A B ∥ C D$ D、 $A B = C D$ ， $A D ∥ B C$

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8. 如图，小岛A在港口B北偏东 $30 °$ 方向上，“远航号”从港口B出发由西向东航行 $15 n mile$ 到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时“远航号”与小岛A的距离为（）

A、 $5 \sqrt{3}$ B、 $15 \sqrt{3}$ C、30 D、 $30 \sqrt{3}$

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9. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 和 $B D$ 相交于O， $∠ B C D$ 的平分线 $C E$ 与边 $A B$ 相交于E，若 $E B = E A = E C$ ，那么下列结论① $∠ A C E = 30 °$ ， ② $O E ∥ D A$ ， ③ $S_{▱ A B C D} = A C \cdot A D$ ， ④ $C E ⊥ D B$ ．其中正确的有（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图，在平面直角坐标系中，直线l₁的解析式为y＝﹣x，直线l₂与l₁交于B（a，﹣a），与y轴交于点A(0，b)．其中a、b满足（a+2）²+ $\sqrt{b - 3}$ ＝0，那么，下列说法：
（1）B点坐标是(﹣2，2)；
（2）三角形ABO的面积是3；
（3） $S_{△ O B C} ： S_{△ A O B} ＝ 2 : 1$ ；
（4）当P的坐标是(﹣2，5)时，那么， $S_{△ B C P} ＝ S_{△ A O B}$ ，正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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11. 如图，直线 $y = x + 4$ 与x轴，y轴分别交于点A和点B，C，D分别为线段 $A B$ ， $O B$ 的中点，P为 $O A$ 上一动点，当 $P C + P D$ 的值最小时，点P的坐标为（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(- 2, 0)$ C、 $(- 3, 0)$ D、 $(- 4, 0)$

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12. 如图所示，以 $Rt △ A B C$ 的直角边 $A C$ 向 $△ A B C$ 外构造等边 $△ A C D$ ， E为 $A B$ 的中点，连接 $C E$ 、 $D E$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ．下列结论：① $A C ⊥ D E$ ；②四边形 $B C D E$ 是平行四边形；③四边形 $A D C E$ 是菱形；④ $S_{四边形 B C D E} = 3 S_{△ A C D}$ ．其中正确的结论有（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（共18分）

13. 4的算术平方根是．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， D、E分别是边 $A B$ 、 $A C$ 的中点，连接 $C D$ 、 $D E$ ，若 $C D = 6.5$ ， $A C = 12$ ，则 $D E =$ ．

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15. 若直线 $y_{1} = \frac{1}{2} x - 2$ 与直线 $y_{2} = - \frac{1}{4} + a$ 相交于x轴同一点，则当x时， $y_{1} < y_{2}$ ．

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16. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E为 $B C$ 中点，连接 $D E$ ，过点A作 $A F ⊥ D E$ 于点F．点G为线段 $F E$ 上一点，连接 $B G$ ，若 $∠ 1 = 45 °$ ， $A B = 10$ ，则 $F G$ 的长为．

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17. 如图，矩形ABCD的边AB、BC是一元二次方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 的两个解（其中 $B C > A B$ ），点E在BC边上，连接AE，把 $△ A B E$ 沿AE折叠，点B落在点 $B^{'}$ 处.当 $△ E C B^{'}$ 为直角三角形时，则 $B^{'} C$ 的长是．

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18. 图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A ＝ 90 °$ ，点P从点A出发，沿三角形的边 $A C$ 方向以 $1cm$ /秒的速度顺时针运动一周，图2是点P运动时，线段 $A P$ 的长度 $y (cm)$ 随运动时间x（秒）变化的关系图象，则图2中P点的坐标是．

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三、解答题（共46分）

19. 计算： $(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1) - \sqrt{8} \times \sqrt{\frac{1}{2}} + | - \sqrt{2} |$ .

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20. 2022年春季，安溪县初中数学学科教学联盟组编写“县本小单元分层作业”测试卷，现将某试点校八年级甲、乙两位选做“强基”层次的同学的10次测试成绩，绘制如图统计图．

(1)、根据图中提供的数据列出如表统计表：
平均成绩（分）
众数（分）
甲
80
b
乙
a
90
则a＝　　， b＝　　．

(2)、现在要从这两位同学中选派一位参加数学素养竞赛，根据以上信息你认为应该选派谁？请简要说明理由．

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21. 如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．

(1)、求证：平行四边形ABCD是菱形；

(2)、若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．

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22. 中牟全县西瓜总种植面积12万多亩，中牟西瓜享有“籽如宝石瓤如蜜，中牟西瓜甜到皮”、“凉争冰雪甜争蜜，香拂笑语牙水生”的美称．近年来，中牟县委、县政府大力推进西瓜产业化经营，在甲、乙两村的附近修建了A，B两个冷库，已知A冷库可储存260吨西瓜，B冷库可储存240吨西瓜，现甲、乙两村各有200吨和300吨西瓜需运往A，B两个冷库储存，且甲、乙两村分别运往A，B两个冷库的西瓜运输费用（单位：元/吨）如下表：
A
B
甲
20元/吨
25元/吨
乙
15元/吨
18元/吨

(1)、设甲村运往A冷库 $x$ 吨西瓜，甲、乙两村运往A，B两个冷库的西瓜运输费用分别用 $y_{甲}$ ， $y_{乙}$ 表示，请求出 $y_{甲}$ ， $y_{乙}$ 与 $x$ 之间的函数关系式．

(2)、考虑到乙村的经济承受能力，乙村的运输费用不得超过4980元，请问当 $x$ 的值为多少时，才能使两村的运输费用之和最小？并求出这个最小费用．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， D是 $A B$ 的中点，点E在 $A C$ 上，连接 $B E$ 和 $D E$ ，若 $∠ C B E = 2 ∠ E D A$ ， $C E = 6$ ，求 $B E$ 的长．

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24. 如图，在直角坐标系 $x O y$ 中， $△ O A B$ 是等腰直角三角形，斜边 $O B$ 在x轴上，且点B的坐标是 $(2, 0)$ ，直线 $y = k x + \frac{3}{2}$ 经过点A，且分别与x轴、y轴交于D、C两点，以 $A D$ 为边在第一象限内作正方形 $A D E F$ ．

(1)、求点A的坐标和k的值；

(2)、求直线 $E F$ 所对应的函数关系式．

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	平均成绩（分）	众数（分）
甲	80	b
乙	a	90

	A	B
甲	20元/吨	25元/吨
乙	15元/吨	18元/吨