广西北海市博文高级中学2024-2025学年高三上学期第一次模拟考试数学试题

试卷更新日期：2024-08-17 类型：月考试卷

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一、单选题（每题·5分·）

1. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的焦点坐标是（）

A、 $(0, \frac{1}{16})$ B、 $(0, \frac{1}{8})$ C、 $(0, \frac{1}{4})$ D、 $(0, \frac{1}{2})$

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2. 下列说法中正确的是（）

A、如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B、数列1，0， $- 1$ ， $- 2$ 与 $- 2$ ， $- 1$ ， 0，1是相同的数列 C、数列 $\{\frac{n + 1}{n}\}$ 的第k项为 $1 + \frac{1}{k}$ D、数列0，2，4，6， $\dots$ 可记为 $\{2 n\}$

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3. 在复平面内，若复数 $z$ 对应的点为 $(- 2 ， 1)$ ，则 $z (2 + i) =$ （）

A、 $- 5$ B、5 C、 $- 5 i$ D、 $5 i$

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4. 已知直线 $l : x + (1 + a) y = 2 - a$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + 12 = 0$ ，则该动直线与圆的位置关系是（）

A、相离 B、相切 C、相交 D、不确定

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5. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 是对角线 $A C_{1}$ 上的动点（点 $P$ 在线段 $A C_{1}$ 上运动，包括线段两端点）.则下面说法中正确的有（　　）
①对任意的点 $P$ ， $△ A_{1} D P$ 是等腰三角形；
②存在点 $P$ ，使得 $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} D P$ ；
③对任意的点 $P$ ， $△ A_{1} D P$ 的面积都不大于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ；
④对任意的点 $P$ ， $△ A_{1} D P$ 的面积都不等于 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ .

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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6. 某种品牌摄像头的使用寿命(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为（）

A、0.2 B、0.25 C、0.4 D、0.8

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7. 已知角 $α$ 满足 $3 \sin^{2} α = 8 \cos α$ ，则 $\sin (2 α + \frac{π}{2}) =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $- \frac{7}{9}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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8. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = |n - c|$ ，则“ $c < 2$ ”是“ $\{a_{n}\}$ 为递增数列”的（）

A、必要不充分条件 B、充要条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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二、多选题（每题6分）

9. 某学校校医对生病的甲、乙两名同学一周的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列说法正确的有（）

A、甲同学的体温的平均值为36.4℃ B、甲同学的体温的方差为0.2 C、乙同学的体温的众数、中位数都为36.4℃ D、乙同学的体温的极差为0.3℃

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10. 下列判断不正确的是（）

A、若 $f (- 2) > f (2)$ ，则函数 $f (x)$ 是R上的减函数 B、函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 在定义域内是减函数. C、函数f（x）= $\{\begin{matrix} x^{2} + 2 x + 1, x \geq 0; \\ 1, x < 0 \end{matrix}$ ，对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ，都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] \geq 0$ 成立； D、已知 $f (x) = \{\begin{matrix} \begin{matrix} - x^{2} - a x - 5 (x \leq 1) \\ \frac{a}{x} (x > 1) \end{matrix} \end{matrix}$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上是增函数，则a的取值范围是 $(- \infty ， 2]$ .

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11. 已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (5, 1)$ ，边 $A B$ 上的中线 $C M$ 所在直线方程为 $2 x - y - 5 = 0$ ，边 $A C$ 上的高 $B H$ 所在直线方程为 $x - 2 y - 5 = 0$ ，则下列说法正确的有（）

A、过点 $A$ 且平行于 $C M$ 的直线的方程为 $2 x - y - 9 = 0$ B、直线 $A C$ 的方程为 $2 x + y - 11 = 0$ C、点 $C$ 的坐标为 $(4, 3)$ D、边 $A C$ 的垂直平分线的方程为 $x - 2 y - 1 = 0$

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三、填空题（每题5分）

12. 若集合 $M$ 满足 $M ∪ \{1,2\} = \{1,2,3,5\}$ ，那么集合 $M =$ .

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13. 已知函数 $f (x) = a x −ln x$ ，且 $lim_{Δ x →0} \frac{f (1+2Δ x)− f (1−Δ x)}{Δ x} =3$ ，则函数 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程是.

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14. 已知函数 $f (x) = s i n ω x + \sqrt{3} c o s ω x (ω > 0)$ ，若对任意的 $x \in R ， f (x) \leq f (\frac{π}{6})$ 恒成立，且 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ 上单调递减，则 $ω =$ .

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四、解答题

15. 如图，在底面是正方形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A P = A B = 2$ ， $E, F, G$ 是 $B C, P C, C D$ 的中点.
（1）求证： $B G ⊥$ 平面 $P A E$ ；
（2）在线段 $B G$ 上是否存在点 $H$ ，使得 $F H / /$ 平面 $P A E$ ？若存在，求出 $\frac{B H}{B G}$ 的值；若不存在，说明理由.

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16. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{1} = 1,3 a_{4} - a_{2} = 10$ ，且数列 ${a_{b_{n}}}$ 是公比为2的等比数列， $b_{1} = 2$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = \{\begin{cases} a_{n}, n 是奇数 \\ a_{n} - 2, n 是偶数 \end{cases}$ ，将 $\{c_{n}\}$ 中的项按原有顺序依次插入到数列 $\{b_{n}\}$ 中，使 $b_{k}$ 与 $b_{k + 1}$ 之间插入2项，形成新数列，求此新数列前面20项的和 $T_{20}$ .

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17. 某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀.统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中优秀的人数是30人.
（1）请完成上面的列联表；
优秀
非优秀
合计
甲班
10
乙班
30
合计
110
（2）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；
参考公式与临界值表 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
$P (K^{2} \geq k)$
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
$k$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

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18. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (0 < p < 3)$ 的焦点为 $F$ ，点 $P (1, 1), |P F| = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $(- \frac{1}{2}, 0)$ 的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点， $C$ 上是否存在定点 $M$ 使得 $k_{M A} + k_{M B} = 2$ （其中 $k_{M A}, k_{M B}$ 分别为直线 $M A, M B$ 的斜率）？若存在，求出 $M$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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19. 已知函数 $f (x) = 2 x - (x + 1) \ln x$ ， $g (x) = x \ln x - a x^{2} - 1$ .

(1)、求证： $\forall x \in (1, + \infty)$ ， $f (x) < 2$ ；

(2)、若方程 $g (x) = 0$ 有两个根，设两根分别为 $x_{1}, x_{2}$ ，求证： $\frac{\ln x_{1} + \ln x_{2}}{2} > 1 + \frac{2}{\sqrt{x_{1} x_{2}}}$ .

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$P (K^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$k$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

	优秀	非优秀	合计
甲班	10
乙班		30
合计			110