浙江省金华市东阳市横店八校联考2024-2025学年九年级上学期开学数学试题

试卷更新日期：2024-09-10 类型：开学考试

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一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 要使二次根式 $\sqrt{x - 3}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 3$ B、 $x < 3$ C、 $x \geq - 3$ D、 $x ≥ 3$

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2. 推进生态文明建设，实行垃圾分类和资源化利用是每个公民义不容辞的责任．下列四幅图是垃圾分类标志图案，每幅图案下配有文字说明．则四幅图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、有害垃圾 B、可回收物 C、厨余垃圾 D、其他垃圾

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3. 下列各式成立的是（）．

A、 $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$ B、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = \pm 3$ C、 $\sqrt{a^{2}} = a$ D、 $\sqrt{{(- 5)}^{2}} = 5$

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4. 用反证法证明命题“在同一平面内，若直线 $a ⊥ c$ ， $b ⊥ c$ ，则 $a ∥ b$ ”时，应假设（　　）

A、 $a ∥ c$ B、a与b不平行 C、 $b ∥ c$ D、 $a ⊥ b$

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5. 童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系 $y = - x^{2} + 50 x - 500$ ，若要想获得最大利润，则销售单价x为（）

A、25元 B、20元 C、30元 D、40元

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6. 下列对二次函数y=x²﹣x的图象的描述，正确的是（）

A、开口向下 B、对称轴是y轴 C、经过原点 D、在对称轴右侧部分是下降的

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7. 如图，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别在 $△ A B C$ 的各边上，且 $D E / / B C$ ， $D F / / A C$ ，若 $A E$ ： $E C = 1$ ： $2$ ， $B F = 6$ ，则 $D E$ 的长为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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8. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，点 $E$ 为 $A D$ 边中点．若菱形 $A B C D$ 的面积为24， $O A = 3$ ，则 $O E$ 的长为( )

A、 $2.5$ B、 $5$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$

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9. 如图，过 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x > 0)$ 的图象上点 $A$ ，分别作 $x$ 轴， $y$ 轴的平行线交 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象于 $B$ ， $D$ 两点，以 $A B$ ， $A D$ 为邻边的矩形 $A B C D$ 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ，若 $S_{2} + S_{3} + S_{4} = \frac{11}{2}$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、4 D、 $\frac{8}{3}$

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别是边 $A D$ ， $C D$ 上的点，且 $A E < E D$ ，将矩形沿 $E F$ 折叠，点 $D$ 恰好落在 $B C$ 边上点 $G$ 处，再将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折叠，点 $A$ 恰好落在 $E G$ 上的点 $H$ 处．若 $A B = 1$ ， $A D = 2$ ，则 $E D$ 的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $\frac{5}{3}$

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二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）

11. 在直角坐标系中，点（﹣3，1）关于原点对称点的坐标是．

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12. 若 $\frac{a}{b} = \frac{3}{4}$ ，则 $\frac{a + b}{3 a - 2 b}$ 的值为．

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13. 已知某组数据的方差为 $S^{2} = \frac{1}{4} [{(3 - \bar{x})}^{2} + {(4 - \bar{x})}^{2} + {(7 - \bar{x})}^{2} + {(10 - \bar{x})}^{2}]$ ，则 $\bar{x}$ 的值为．

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14. 已知点 $(- \sqrt{2}, y_{1})$ ， $(- 1, y_{2})$ ， $(\sqrt{3}, y_{3})$ 在函数 $y = \frac{\sqrt{6}}{x}$ 的图象上，比较 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 大小（用“ $<$ ”连接）．

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15. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E，F分别在 $B C ， C D$ 的延长线上，连接 $A E ， A F$ ， $E F ， A E$ 与 $C F$ 交于点G．已知 $∠ E A F = 45 °$ ， $A B = 3$ ． $D F = 1$ ，则 $C E =$ ．

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16. 二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
下列结论：
①ac＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
③3是方程ax²+（b﹣1）x+c=0的一个根；
④当﹣1＜x＜3时，ax²+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的结论是______．

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三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分）

17. （1）计算： $(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{2}) (3 + 2 \sqrt{2})$ ；
（2）解方程： $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ ．

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18. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + b x + 5 = 0$ ．

(1)、若方程有两个相等的实数根，求 $b$ 的值．

(2)、设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程的两个实数根，当 $b = 6$ 时，求 $x_{1}^{2} x_{2} + x_{1} x_{2}^{2}$ 的值．

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19. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划招募若干名学生会干事．现有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加文化水平、口头表达、组织策划三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将文化水平、口头表达、组织策划三项的测试成绩按 $3 : 3 : 4$ 的比例计算出每人的总评成绩．
已知圆圆、芳芳的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如图．
选手
测试成绩/分
总评成绩/分
文化水平
口头表达
组织策划
圆圆
$83$
$72$
$80$
$78.5$
芳芳
$86$
$84$
▲
▲

(1)、在组织策划测试中，七位评委给芳芳打出的分数如下：75，82，74，81，70，83，81．这组数据的中位数是______分，众数是______分，平均数是______分．

(2)、请你计算芳芳的总评成绩．

(3)、学校决定根据总评成绩择优选拔11名学生会干事．试分析芳芳、圆圆能否入选，并说明理由．

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20. 在 $△ A B C$ 中，点M是边 $B C$ 的中点， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $B D ⊥ A D$ ． $B D$ 的延长线交 $A C$ 于点E， $A B = 12, A C = 20$ ．

(1)、求证： $B D = D E$ ；

(2)、求 $D M$ 的长．

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21. 在平面直角坐标系中，设反比例函数 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x}$ ( $k_{1}$ 为常数， $k_{1} \neq 0$ )的图象与一次函数 $y_{2} = k_{2} x + b$ ( $k_{2}$ ， $b$ 为常数， $k_{2} \neq 0$ )的图象交于点 $A (2, 3)$ ， $B (m, - 2)$ ．

(1)、求 $m$ 的值和一次函数表达式．

(2)、当 $y_{1} > y_{2}$ 时，直接写出 $x$ 的取值范围．

(3)、若点 $C$ 在函数 $y_{2}$ 的图象上，点 $C$ 先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得点 $D$ ，点 $D$ 恰好落在函数 $y_{1}$ 的图象上，求点 $C$ 的坐标．

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22. 某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2021年每辆汽车的日租金为100元，由于物价上涨，到2023年日租金上涨到121元．

(1)、求2021年至2023年日租金的平均增长率．

(2)、经市场调研发现，从2023年开始，当每辆汽车的日租金定为121元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆．已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．
①在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨 $y$ 元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出______辆车．
②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达28200元？(日收益 $=$ 总租金 $-$ 各类费用)

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23. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ， E、F是对角线 $A C$ 上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中 $0 \leq t \leq 10$ ．

(1)、若G，H分别是 $A D$ ， $B C$ 中点，则四边形 $E G F H$ 一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？______（不用说明理由）

(2)、在（1）条件下，若四边形 $E G F H$ 为矩形，求t的值；

(3)、在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形 $E G F H$ 为菱形，求t的值．

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24. 已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴的交于 $A$ 、 $B (1, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 3)$ ．

(1)、求二次函数的表达式及 $A$ 点坐标；

(2)、 $D$ 是二次函数图象上位于第三象限内的点，求 $△ A C D$ 面积的最大值及此时点 $D$ 的坐标；

(3)、 $M$ 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点 $N$ ．使以 $M 、 N 、 B 、 O$ 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点 $N$ 的坐标．

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选手	测试成绩/分			总评成绩/分
选手	文化水平	口头表达	组织策划	总评成绩/分
圆圆	$83$	$72$	$80$	$78.5$
芳芳	$86$	$84$	▲	▲

x	﹣1	0	1	3
y	﹣1	3	5	3