湖北省十堰市郧阳区第一中学2025届高三8月联合教学质量检测数学试卷

试卷更新日期：2024-08-21 类型：月考试卷

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知角 $α$ 的终边上有一点 $P$ 的坐标为 $(- 2, 1)$ ，则 $\cos α$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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2. 已知集合 $M = \{y| y = \ln (1 - x^{2})\}, N = \{x |- 1 < x < 1\}$ ，则（）

A、 $M = N$ B、 $M \cap N = [- 1, 0]$ C、 $M \cap N = (- 1, 0)$ D、 $(∁_{R} M) \cup N = (- 1, + \infty)$

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3. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a = 1$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $A = 30 °$ ，则B等于（）

A、30° B、45° C、30°或150° D、45°或135°

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4. 已知 $\sin α = \frac{3}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $\tan (π - β) = \frac{1}{2}$ ，则 $\tan (α - β)$ 的值为（）

A、 $- \frac{2}{11}$ B、 $\frac{2}{11}$ C、 $\frac{11}{2}$ D、 $- \frac{11}{2}$

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5. 已知 $\cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{4}$ ，则 $\sin (2 α + \frac{5 π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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6. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存､投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率 $v$ 与时间 $t$ （月）近似地满足关系 $v = a \cdot b^{t}$ （其中 $a, b$ 为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为 $5 %$ ，经过10个月，这种垃圾的分解率为 $10 %$ ，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（）个月.（参考数据： $lg 2 \approx 0.3$ ）

A、20 B、27 C、32 D、40

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7. 若过点 $(a, b)$ 可以作曲线 $y = \ln x$ 的两条切线，则（）

A、 $a < \ln b$ B、 $b < \ln a$ C、 $\ln b < a$ D、 $\ln a < b$

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8. 已知 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{π}{3}) + (a - 1) s i n ω x (a > 0, ω > 0)$ 在(0，π)上存在唯一实数x₀使 $f (x_{0}) = - \sqrt{3} ，$ 又 $φ (x) = f (x) - 2 \sqrt{3} ，$ 任意的 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 均有 $φ (x_{1}) \leq - φ (x_{2})$ 成立，则实数ω的取值范围是（）

A、 $1 < ω \leq \frac{5}{3}$ B、 $1 \leq ω \leq \frac{5}{3}$ C、 $\frac{5}{6} < ω < \frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{6} < ω \leq \frac{3}{2}$

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二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9. 随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是（）

A、10月测试成绩为“优秀”的学生有40人 B、9月体育测试中学生的及格率为 $30 %$ C、从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 D、12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多

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10. 下列函数中，当 $x < - 1$ 时，函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大依次是（）

A、 $y = - 2 x + 1$ B、 $y = 2 x$ C、 $y = - \frac{2}{x + 1}$ D、 $y = \frac{2}{x}$

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11. 如图，点 $E$ 是正方形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 上一点（不与点 $A$ ，点 $C$ 重合），点 $F$ 是正方形 $A B C D$ 的外角 $∠ D C N$ 的角平分线 $C M$ 上一点，且 $C F = A E$ ，连接 $B E$ ， $E F$ ．下列说法正确的是（）

A、当点 $E$ 是 $A C$ 的中点时，四边形 $B E F C$ 是平行四边形 B、 $\frac{B E}{E F}$ 的值为常数 C、当 $∠ A B E = 30 °$ 时， $E F = 2 C F$ D、当 $C E = A B$ 时， $∠ E F C = 75 °$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 设 $A, B$ 是一个随机试验中的两个事件，若 $P (B) = \frac{3}{5}, P (A ∣ B) = \frac{1}{3}, P (A \cup B) = \frac{2}{3}$ ，则 $P (A) =$ ．

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13. 已知函数 $f (x) = \sin ω x + \cos (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在区间 $[0, 2 π]$ 内恰有3个零点，则 $ω$ 的取值范围是．

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14. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 2 x$ ，若 $m > 0$ ， $n > 0$ ，且 $f (2 m) + f (n - 1) = f (0)$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值是

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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15. 为促进农村经济发展，鼓励土地承包规划管理．已知土地的使用面积 $x$ 与相应规划管理时间 $y$ 具有线性相关关系，随机调查某村20户村民，经计算得到如下一些统计量的值：
$\sum_{i = 1}^{20} x_{i} = 80$ ， $\sum_{i = 1}^{20} y_{i} = 1600$ ， $\sum_{i = 1}^{20} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 100$ ， $\sum_{i = 1}^{20} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 1200$ ．

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程；

(2)、调查发现，家庭中女士不同意参与规划管理的概率为0.3，男士不同意参与规划管理的概率为0.2，男女是否同意参与规划管理相互独立．只要有一方不同意参与规划管理，则该家庭就决定不参与规划管理．若在抽查中发现3家不同意参与规划管理，求其中至少2家有女士不同意参与规划管理的概率．
参考公式：对于一组数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， ⋯， $(x_{n}, y_{n})$ ，其经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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16. 为了解某单位员工的月工资水平，从该单位500位员工中随机抽取了50位进行调查，得到如下频数分布表：
月工资 $/$ 百元
$[15, 25)$
$[25, 35)$
$[35, 45)$
$[45, 55)$
$[55, 65)$
$[65, 75]$
男员工数
1
8
10
6
4
4
女员工数
4
2
5
4
1
1

(1)、完成如图所示的月工资频率分布直方图（注意填写纵坐标）；

(2)、估计该单位员工的月平均工资；

(3)、若从月工资在 $[25, 35)$ 和 $[45, 55)$ 内的两组所调查的女员工中随机选取2人，试求这2人月工资差超过1000元的概率.

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17. 已知函数 $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 2$ ，求：

(1)、函数 $y = f (x)$ 的图象在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、 $f (x)$ 的单调递减区间；

(3)、求 $f (x)$ 的极大值和极小值．

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18. 已知函数 $f (x) = a l n (x + 2) - \frac{1}{2} x^{2} (a \in R)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点，
（ⅰ）求实数 $a$ 的取值范围；
（ⅱ）证明：函数 $f (x)$ 有且只有一个零点．

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19. 设有穷数列 $\{a_{n}\}$ 的项数为 $m (m \geq 2)$ ，若正整数 $k (2 \leq k \leq m)$ 满足： $\forall n < k, a_{n} > a_{k}$ ，则称 $k$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的“ $m i n$ 点”．

(1)、若 $a_{n} = (- 1)^{n} (2 n - 3) (1 \leq n \leq 5)$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的“ $m i n$ 点”；

(2)、已知有穷等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $2$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n} .$ 若数列 $\{S_{n} + \frac{1}{S_{n}}\}$ 存在“ $m i n$ 点”，求正数 $a_{1}$ 的取值范围；

(3)、若 $a_{n} \geq a_{n - 1} - 1 (2 \leq n \leq m)$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的“ $m i n$ 点”的个数为 $p$ ，证明： $a_{1} - a_{m} \leq p$ ．

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月工资 $/$ 百元	$[15, 25)$	$[25, 35)$	$[35, 45)$	$[45, 55)$	$[55, 65)$	$[65, 75]$
男员工数	1	8	10	6	4	4
女员工数	4	2	5	4	1	1