广东省茂名市高州中学2025届高三上学期8月月考数学试题

试卷更新日期：2024-09-06 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合A={x|x²–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）

A、–4 B、–2 C、2 D、4

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2. 若 $p$ ：实数 $a$ 使得“ $\exists x_{0} \in R, x_{0}^{2} + 2 x_{0} + a = 0$ ”为真命题， $q$ ：实数 $a$ 使得“ $\forall x \in [0,+ \infty), 2^{x} - a > 0$ ”为真命题，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 (a - 1) x + a$ ，若对于区间 $[- 1, 2]$ 上的任意两个不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(- \infty, 0] \cup [3, + \infty)$ D、 $[3, + \infty)$

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4. 纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量 $C$ 、放电时间 $t$ 和放电电流 $I$ 之间关系的经验公式： $C = I^{λ} t$ ，其中 $λ$ 为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为 $15 A$ 时，放电时间为 $30 h$ ；当放电电流为 $50 A$ 时，放电时间为 $7.5 h$ ，则该萻电池的Peukert常数 $λ$ 约为（）（参考数据： $lg 2 \approx 0.301$ ， $lg 3 \approx 0.477$ ）

A、1.12 B、1.13 C、1.14 D、1.15

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5. 已知 $x > 0, y > 0$ ，且 $2 x + y = 1$ ，则 $\frac{y^{2} + x}{x y}$ 的最小值为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2} + 1$ D、 $2 \sqrt{2} + 1$

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6. 函数 $f (x) = \frac{\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})}{x^{2} - \cos x}$ 的图象大致为( )

A、 B、 C、 D、

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7. 设函数 $f (x) = \log_{2} | x | - x^{- 2}$ ，则不等式 $f (x - 2) \geq f (2 x + 2)$ 的解集为（）

A、 $[- 4, 0]$ B、 $[- 4, 0)$ C、 $[- 4, - 1) \cup (- 1, 0]$ D、 $[- 4, - 1) \cup (- 1, 0)$

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8. 已知可导函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (\frac{x}{2} - 1)$ 为奇函数，设 $g (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，若 $g (2 x + 1)$ 为奇函数，且 $g (0) = \frac{1}{2}$ ，则 $\sum_{k = 1}^{10} k g (2 k) =$ （）

A、 $\frac{13}{2}$ B、 $- \frac{13}{2}$ C、 $\frac{11}{2}$ D、 $- \frac{11}{2}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{2} | x | ， & 0 < | x | < 1 \\ | 4 - x^{2} | ， & | x | \geq 1 \end{array}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、函数 $f (x)$ 有4个零点 C、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增 D、函数 $y = f (f (x)) - 5$ 有6个零点

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10. 函数 $f (x) = - x^{2} + a x - 6, g (x) = x + 4$ ，若对任意 $x_{1} \in (0, + \infty)$ ，存在 $x_{2} \in (- \infty, - 1]$ ，使得 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ ，则实数 $a$ 可能的取值为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

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11. 函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = e^{- x} (x - 1)$ ，下列结论正确的有（）

A、当 $x < 0$ 时， $f (x) = e^{x} (x + 1)$ B、函数 $f (x)$ 有且仅有3个零点 C、若 $m \leq e^{- 2}$ ，则方程 $f (x) = m$ 在 $x > 0$ 上有解 D、 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ， $| f (x_{2}) - f (x_{1}) | < 2$ 恒成立

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 质点M按规律 $s (t) = {(t - 1)}^{2}$ 做直线运动（位移单位：m，时间单位： $s$ ），则质点M在 $t = 3 s$ 时的瞬时速度为．

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13. 若曲线 $y = ln x - x^{2} + 2 x$ 在 $x = 1$ 处的切线恰好与曲线 $y = e^{x} + a$ 也相切，则 $a =$ .

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14. 设函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - t (x + 2 \ln x + \frac{3}{x})$ 恰有两个极值点，则实数t的取值范围为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 在 $△ A B C$ 中，已知内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ $c$ ，且满足 $2 (c sin C - b sin C cos A) = c sin A$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $4 \sin A = \sqrt{3} a$ ，求 $a c$ 的最大值．

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16. 如图，在直角梯形ABCD中，AB $/ /$ DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合).
（1）求证：平面EMN⊥平面PBC；
（2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由.

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17. 刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查（问卷得分在 $40 ～ 100$ 分之间），并从参与者中随机抽取 $200$ 人.根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图.

(1)、据此估计这 $200$ 人满意度的平均数 $($ 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 $)$ ；

(2)、某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动.活动方案为：从装有 $8$ 个形状、大小完全相同的小球 $($ 其中红球 $3$ 个，黑球 $5$ 个 $)$ 的抽奖盒中，一次性摸出 $3$ 个球，若摸到 $3$ 个红球，返消费金额的 $20 %$ ；若摸到 $2$ 个红球，返消费金额的 $10 %$ ，除此之外不返现金．
方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有 $\frac{1}{6}$ 的概率享受 $8$ 折优惠，有 $\frac{1}{3}$ 的概率享受 $9$ 折优惠，有 $\frac{1}{2}$ 的概率享受 $95$ 折优惠.现小张在该超市购买了总价为 $1000$ 元的商品．
①求小张选择方案一付款时实际付款额 $X$ 的分布列与数学期望；
②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精确到 $0.1$ ）

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18. 已知函数 $f (x) = e^{x} + (a - 1) x - 1$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a > 1$ 时，证明： $f (x) > x ln x - a cos x$ ．

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19. 已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为2，点B为 $(0, b)$ ，直线 $B F_{2}$ 与圆 $7 x^{2} + 7 y^{2} - 12 = 0$ 相切.

(1)、求双曲线E方程；

(2)、过 $F_{2}$ 的直线l与双曲线E交于M，N两点，
①若 $\vec{M F_{2}} = λ \vec{F_{2} N} (1 < λ < 3)$ ，求 $△ M O N$ 的面积取值范围：
②若直线l的斜率为k，是否存在双曲线E上一点Q以及x轴上一点P，使四边形PMQN为菱形？若存在，求出 $k^{2}$ ；若不存在，请说明理由.

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