湖南省邵阳市海谊中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（B卷）

试卷更新日期：2024-09-06 类型：期中考试

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一、单选题（每题3分，共计30分）

1. 有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为（　　）

A、四棱柱 B、四棱锥 C、三棱柱 D、三棱锥

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2. 下列说法中错误的是（）

A、在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例 B、余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形 C、利用余弦定理可以解决已知三角形三边求角的问题 D、在三角形中，已知两边及其中一边的对角，不能用余弦定理解三角形

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3. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a = 2 ， b = 3 ， s i n A = \frac{1}{2}$ ，则 $s i n B =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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4. 已知复数 $z = \frac{1 + 2 i}{1 + i}$ （i为虚数单位），则z的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个圆心角为 $\frac{4 π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的表面积为（）

A、 $4 π$ B、 $6 π$ C、 $10 π$ D、 $16 π$

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6. 下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（）

A、有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 B、有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C、用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台 D、棱台的各侧棱延长后必交于一点

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7. 下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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8. 下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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9. 已知点 $O$ 是平行四边形 $A B C D$ 的对角线的交点，则（）

A、 $\vec{O A} = \vec{O C}$ B、 $\vec{A B} = \vec{C D}$ C、 $\vec{O D} // \vec{B O}$ D、 $| \vec{A C} | = | \vec{B D} |$

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10. 设 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边，则下列等式成立的是（）

A、 $c^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b cos C$ B、 $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b cos C$ C、 $c^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b sin C$ D、 $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b sin C$

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二、多选题（全对得5分，漏选得3分，错选不得分）

11. 若某锐角三角形的三边长分别为1，2， $a$ ，则 $a$ 的值可能为（）

A、2 B、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{19}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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12. 设向量 $\vec{a} = (2, 0), \vec{b} = (- 1, - 1)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ B、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ C、 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ D、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$

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13. 下列说法正确的是（）

A、向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量可表示为 $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{b} |} \cdot \frac{\vec{b}}{| \vec{b} |}$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ 的范围是 $(\frac{π}{2}, π]$ C、若△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，则 $\vec{A B}$ ， $\vec{B C}$ 的夹角为 $45 °$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

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14. 已知复数 $z_{1} = a + i$ ， $z_{2} = 1 + b i$ （其中 $i$ 是虚数单位， $a$ ， $b \in R$ ），若 $z_{1} \cdot z_{2}$ 为纯虚数，则（）

A、 $a - b = 0$ B、 $a + b = 0$ C、 $a b \neq - 1$ D、 $a b \neq 1$

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三、填空题（每题4分，共计20分）

15. 用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为．

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16. 圆柱的底面半径为3，高为4，其侧面积为.

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17. 求解多面体的外接球时，经常用到截面图.如图所示，设球O的半径为R，截面圆O^'的半径为r，M为截面圆上任意一点，球心O到截面圆O^'的距离为d，则R、r、d满足的关系式是.

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18. 若向量 $\vec{a} = (- 1, 2), \vec{b} = (- 2, 1)$ ，则 $\vec{a} + \vec{b} =$ ．

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19. 若复数 $z$ 满足 $z (2 - i) = 3 i$ ，则 $z$ 的共轭复数为（用复数的代数形式作答）

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四、解答题（每题10分，共计30分）

20. 若向量 $\overset{⇀}{a} = (- 1, x)$ 与 $\overset{⇀}{b} = (- x, 4)$ 共线，求x的值.

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21. 计算：

(1)、 $(2 - \frac{1}{2} i) + (\frac{1}{2} - 2 i)$ ；

(2)、 $(3 + 2 i) + (\sqrt{3} - 2) i$ ；

(3)、 $(1 + 2 i) + (i + i^{2}) + |3 + 4 i|$ ；

(4)、 $(6 - 3 i) + (3 + 2 i) - (3 - 4 i) - (- 2 + i)$ ．

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22. 如图所示，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A D = 1, C D = 2, A C = \sqrt{7}$ ，

(1)、求 $\cos ∠ C A D$ 的值.

(2)、若 $B$ 为锐角， $B C = 2, \sin ∠ B A C = \frac{\sqrt{21}}{7}$ ，求角 $B$ .

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