人教版九年级上学期数学第二十四章质量检测（高阶）

试卷更新日期：2024-09-09 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $A B = 5$ ，点 $P$ 在 $△ A B C$ 内，分别以 $A 、 B 、 P$ 为圆心画，圆 $A$ 半径为1，圆 $B$ 半径为2，圆 $P$ 半径为3，圆 $A$ 与圆 $P$ 内切，圆 $P$ 与圆 $B$ 的关系是（）

A、内含 B、相交 C、外切 D、相离

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2. 两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆 $O^{^{'}}$ 的一个直径端点与半圆 $O$ 的圆心重合.若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（）

A、 $\frac{4}{3} π - \sqrt{3}$ B、 $\frac{4}{3} π$ C、 $\frac{2}{3} π - \sqrt{3}$ D、 $\frac{4}{3} π - \frac{\sqrt{3}}{4}$

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3. 如图，在 $△ O A B$ 和 $△ O C D$ 中， $O A = O B, O C = O D, O A > O C, ∠ A O B = ∠ C O D = 40^{\circ}$ ，连接 $A C, B D$ 交于点 $M$ ，连接 $O M$ . 下列结论： $① A C = B D$ ； $②∠ A M B = 40^{\circ}$ ； $③ O M$ 平分 $∠ B O C$ ； $④ M O$ 平分 $∠ B M C$ . 其中正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 如图，在边长为8的正方形 $A B C D$ 中，点O为正方形的中心，点E为 $A D$ 边上的动点，连结 $O E$ ，作 $O F ⊥ O E$ 交 $C D$ 于点F，连接 $E F$ ， P为 $E F$ 的中点，G为边 $C D$ 上一点，且 $C D = 4 C G$ ，连接 $P A ， P G$ ，则 $P A + P G$ 的最小值为（）

A、10 B、 $4 \sqrt{7}$ C、 $8 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{29}$

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5. 如图，半径为2，圆心角为 $90 °$ 的扇形 $O A B$ 的弧 $A B$ 上有一动点 $P$ ，从点 $P$ 作 $P H ⊥ O A$ 于点 $H$ ，设 $△ O P H$ 的三个内角平分线交于点 $M$ ，当点 $P$ 在弧 $A B$ 上从点 $A$ 运动到点 $B$ 时，点 $M$ 所经过的路径长是（）．

A、 $π$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2} π$ C、 $\sqrt{2} π$ D、 $2 π$

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6. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段 $A B$ ，作一个等边三角形 $A B C$ ，然后以点 $B$ 为圆心， $A B$ 为半径逆时针画圆弧交线段 $C B$ 的延长线于点 $D$ （第一段圆弧），再以点 $C$ 为圆心， $C D$ 为半径逆时针画圆弧交线段 $A C$ 的延长线于点 $E$ ，再以点 $A$ 为圆心， $A E$ 为半径逆时针画圆弧…以此类推，当得到的“蚊香”恰好有12段圆弧时，“蚊香”的长度为（）

A、 $36 π$ B、 $52 π$ C、 $72 π$ D、 $80 π$

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二、填空题（每题3分，共15分）

7. 如图，扇形 $O A B$ 中， $∠ A O B = 100 °$ ， $O A = 12$ ， $C$ 是 $O B$ 的中点， $C D ⊥ O B$ 交 $B$ 于点 $D$ ，以 $O C$ 为半径的弧交 $O A$ 于点 $E$ ，则图中阴影部分的面积是．

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三、解答题（共6题，共57分）

8. 如图， $⊙ O$ 的直径 $A B$ 为 $10 cm$ ，弦 $A C$ 为 $6 cm$ ， $∠ A C B$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ．

(1)、求 $A D$ 的长；

(2)、试探究 $C A 、 C B 、 C D$ 之间的等量关系，并证明你的结论；

(3)、连接 $O D$ ， $P$ 为半圆 $A D B$ 上任意一点，过 $P$ 点作 $P E ⊥ O D$ 于点 $E$ ，设 $△ O P E$ 的内心为 $M$ ，当点 $P$ 在半圆上从点 $B$ 运动到点 $A$ 时，求内心 $M$ 所经过的路径长．

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9. 在直角坐标系中，以 $M (3, 0)$ 为圆心的 $⊙ M$ 交x轴负半轴于A ，交x轴正半轴于B ，交y轴于C、D ．其中C点坐标为 $(0, 4)$ ．

(1)、求点A坐标．

(2)、如图，过C作 $⊙ M$ 的切线 $C E$ ，过A作 $A N ⊥ C E$ 于F ，交 $⊙ M$ 于N ，求 $A N$ 的长度．

(3)、在 $⊙ M$ 上，若 $∠ C P M = 45 °$ ，求出点P的坐标．

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10. 如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E ，且AD⊥DE于D ，与⊙O交于点F ．

(1)、判断AC是否是∠DAE的平分线？并说明理由；

(2)、连接OF与AC交于点G ，当AG＝GC＝k时，求切线CE的长．

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11. 如图①，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点 $E ， \hat{C F} = \hat{C B} ，$ BF与CD相交于点G.

(1)、求证：CD=BF.

(2)、若BE=1，BF=4，求GE 的长.

(3)、如图②，连结GO，OF，求证：2∠EOG+ $\frac{1}{2} ∠ A O F = 90 ° .$

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四、实践探究题（共2题，共18分）

12. 课本改编

(1)、如图1，四边形 $A B C D$ 为 $⊙ O$ 的内接四边形， $A C$ 为 $⊙ O$ 的直径，则 $∠ B =$ $∠ D =$ 度， $∠ B A D + ∠ B C D =$ 度．

(2)、如果 $⊙ O$ 的内接四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 不是 $⊙ O$ 的直径，如图2，求证：圆内接四边形的对角互补．

(3)、知识运用
如图3，等腰三角形 $A B C$ 的腰 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，底边和另一条腰分别与 $⊙ O$ 交于点 D ， E ， F 是线段 $C E$ 的中点，连接 $D F$ ，求证： $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线．

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13. 【综合与实践】
【问题情境】数学课上，老师给出：某广场计划用透明钢化玻璃制作一种半球形展览装置，其截面是以 $A B$ 为直径的半圆O，放置于地面 $G H$ 上，装置中盛有一些彩色液体（图中阴影部分），其中液面截线 $M N ∥ G H$ ，已知液面截线 $M N$ 宽 $4.8 m$ ，彩色液体的最大深度为 $1.8 m$ ．
【数学思考】（1）求直径 $A B$ 的长；
【拓展再探】（2）如图1，“智慧小组”突发奇想，在同一截面内，当装置（半圆O）在地面 $G H$ 上向右缓慢摆动，始终保持半圆O与 $G H$ 相切，使一部分液体流出．如图2，当 $∠ A N M = 30 °$ 时停止摆动，其中半圆的中点为点Q， $G H$ 与半圆的切点为点E，连接 $O E$ 交 $M N$ 于点 D．
①在摆动中圆心O到地面 $G H$ 的距离（填“改变”或“不变”）；
②求此时 $A M$ 的长及操作后液面高度下降了多少；
③为保证安全，需要在点E处加装制动装置，此时点E 离点F有多远？

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