广东省揭阳市两校2024-2025学年高三上学期8月联考数学试题

试卷更新日期：2024-09-04 类型：月考试卷

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1. 设集合 $A = \{0, 1, 2, 3\}$ ， $B = \{x \in N| x^{2} - 5 x + 4 \geq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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2. “ $x^{2} \leq x$ ”是“ $\frac{1}{x} \geq 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (2 - a) x + 3 a ， x < 1 \\ \sqrt{x - 1} ， x \geq 1 \end{array}$ 的值域为R，那么实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1]$ B、 $[- 1 ， 2)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(- 2 ， 1]$

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4. 如图，已知 $A (1, 0)$ ， $B (0, 1)$ ，点C在函数 $y = a^{x}$ 的图象上，点D在函数 $y = \log_{a} x$ 的图象上，若四边形 $A B C D$ 为正方形，则 $a =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、3 D、4

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5. 已知 $\sin θ + \sin (θ + \frac{π}{3}) = 1$ ，则 $\sin (θ + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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6. 神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球．在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水．回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用．净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为（）（参考数据 $l g 2 = 0.3010$ ）

A、10 B、12 C、14 D、16

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7. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于A，B两点，且 $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{A F_{2}} = 0$ ， $\vec{A B} = 4 \vec{F_{2} B}$ ，则椭圆E的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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8. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{n + 1} \cdot a_{n} = 2^{n} (n \in N^{*})$ ，则 $S_{2024}$ 等于（）

A、 $2^{2024} - 1$ B、 $3 \times 2^{1012} - 1$ C、 $3 \times 2^{1012} - 2$ D、 $3 \times 2^{1012} - 3$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列大小关系正确的是（）

A、 $1 . 9^{2} < 2^{1.9}$ B、 $2^{2.9} < 2 . 9^{2}$ C、 $\frac{2^{l n 2}}{2^{l n 2} - 1} < \frac{2^{\sqrt{2}}}{2^{\sqrt{2}} - 1}$ D、 $l o g_{7} 4 < l o g_{12} 7$

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10. 已知函数 $f (x) = a \sin x - \cos 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 的图象不可能关于点 $(π, 0)$ 对称 C、当 $a = - 2$ 时，函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ 上单调递增 D、若函数 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上存在零点，则实数a的取值范围是 $(- 1, + \infty)$

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11. 已知函数 $f (x) = 1 g (\sqrt{x^{2} + 1} + x) + e^{x} - e^{- x} + 1 (e \approx 2.7...)$ ，若不等式 $f (\sin θ + \cos θ) < 2 - f (\sin 2 θ - t)$ 对任意 $θ \in R$ 恒成立，则实数t的可能取值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、3 D、4

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 定义运算 $|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}| = a d - b c$ 则不等式 $|\begin{matrix} a x & 1 \\ 1 & x + 1 \end{matrix}| < 0$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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13. 已知过原点O的直线与 $y = \log_{3} x$ 交于A，B两点（A点在B点左侧），过A作x轴的垂线与函数 $y = 4^{x}$ 交于C点，过B点作x轴的垂线与函数 $y = 2^{x}$ 交于D点，当 $C D$ 平行于x轴时，点A的横坐标为.

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14. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的单调函数， $f [f (x) - 2^{x}] = 3$ 对 $x \in R$ 恒成立，则 $f (3)$ 的值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 $c = 5$ ， $2 b \cos C = 2 a - c$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $10 \sqrt{3}$ ，设D是BC的中点，求 $\frac{\sin ∠ B A D}{\sin ∠ C A D}$ 的值．

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16. 如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $A B = 2 A A_{1} = 2 A_{1} B_{1} = 2$ ， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、证明：BD $⊥$ CC₁；

(2)、棱 $B C$ 上是否存在一点 $E$ ，使得二面角 $E - A D_{1} - D$ 的余弦值为 $\frac{1}{3} ?$ 若存在，求线段 $C E$ 的长；若不存在，请说明理由.

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17. 设函数 $f (x) = \frac{a x}{b + x^{2}} (a \neq 0, x > 0)$ ，满足：① $f (1) = \frac{1}{2}$ ；②对任意 $x > 0$ ， $f (x) = f (\frac{1}{x})$ 恒成立．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式．

(2)、设矩形 $A B C D$ 的一边 $A B$ 在 $x$ 轴上，顶点 $C$ ， $D$ 在函数 $f (x)$ 的图象上．设矩形 $A B C D$ 的面积为 $S$ ，求证： $0 < S < 1$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1} + k$ 是奇函数.（e是自然对数的底）

(1)、求实数k的值；

(2)、若 $x > 0$ 时，关于x的不等式 $f (2 x) \leq m f (x)$ 恒成立，求实数m的取值范围；

(3)、设 $g (x) = \frac{f (x) + 1}{1 - f (x)}$ ，对任意实数 $a, b, c \in (0, n]$ ，若以a ， b ， c为长度的线段可以构成三角形时，均有以 $g (a)$ ， $g (b)$ ， $g (c)$ 为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值.

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - l n x - x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $a = 0$ 时，试判断函数 $F (x) = 2 s i n x - f (x) - 2 x$ 的零点个数，并给出证明．

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