浙江省杭高三校2023-2024学年高一上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-15 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若角 $α$ 终边上一点 $P (- 4, 3)$ ，则 $\sin α =$ （）

A、 $3$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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2. 已知 $a = \log_{2} 0.5$ ， $b = 2^{0.5}$ ， $c = \sin 2$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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3. 函数 $f (x) = \lg (4 + 3 x - x^{2})$ 的单调递减区间是（）

A、 $(- \infty, \frac{3}{2}]$ B、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $(- 1, \frac{3}{2}]$ D、 $[\frac{3}{2}, 4)$

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4. “ $0 < a < 1$ 且 $0 < b < 1$ ”是“ $\log_{a} b > 0$ ”的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 设函数 $f (x)$ $= \{\begin{matrix} 5 x - 1, x < 1 \\ a^{x} + 1, x \geq 1 \end{matrix}$ .若 $f [f (\frac{4}{5})] = 9$ ，则 $a$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $2$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $3$

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6. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + 4$ 在 $(1, 2)$ 上有且只有一个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[8, 10)$ B、 $(8, 10)$ C、 $[4, 5)$ D、 $(4, 5)$

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7. 已知 $f (x) = 2 \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在 $(0, \frac{2 π}{3})$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 4]$ B、 $(0, \frac{1}{4}]$ C、 $(0, \frac{1}{4})$ D、 $(0, 1]$

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8. 中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状.不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知 $A B = C D = 4$ ， $B C = 4$ ， $A D = 8$ ，则该玉佩的面积为（）

A、 $\frac{16 π}{3} - 4 \sqrt{3}$ B、 $\frac{32 π}{3} - 4 \sqrt{3}$ C、 $\frac{16 π}{3}$ D、 $\frac{32 π}{3}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知函数 $f (x)$ 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
$x$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$7$
$f (x)$
$- 4$
$- 2$
$1$
$4$
$2$
$- 1$
$- 3$
在下列区间中，函数 $f (x)$ 必有零点的区间为（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(5, 6)$ D、 $(5, 7)$

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10. 设函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{6}), x = R$ ，若 $α \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ，函数 $f (x + α)$ 是偶函数，则 $α$ 的值可以是（）

A、 $- \frac{π}{6}$ B、 $- \frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = ln (\sqrt{x^{2} + 1} + x) + x + 1$ .则下列说法正确的是（）

A、 $f (lg 3) + f (lg \frac{1}{3}) = 2$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(0, 1)$ 对称 C、对定义域内的任意两个不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$ ， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 恒成立. D、若实数 $a, b$ 满足 $f (a) + f (b) > 2$ ，则 $a + b > 0$

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12. 函数 $f (x) = |\lg x|$ ，有 $0 < a < b$ 且 $f (a) = f (b) = 2 f (\frac{a + b}{2})$ ，则下列选项成立的是（）

A、 $a b = 1$ B、 $a < \frac{1}{4}$ C、 $3 < b < 4$ D、 $\frac{5}{3} < \frac{a + b}{2} < \frac{17}{8}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，20分.

13. 计算： $(\log_{2} 9) \cdot (\log_{3} 4) =$ .

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14. 写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R，值域是R；②奇函数；③周期函数的函数解析式.

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15. 已知 $f (x)$ 为定义在R上的奇函数，且又是最小正周期为 $T$ 的周期函数，则 $\sin [\frac{π}{3} + f (\frac{T}{2})]$ 的值为．

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16. 对于任意实数a ， b ，定义min{a ， b}＝ ${\begin{matrix} a ， a \leq b \\ b ， a > b \end{matrix}$ ，设函数 $f (x) = - x + 3$ ， $g (x) = {log}_{2} x$ ，则函数 $h (x) =$ min{ $f (x)$ ， $g (x)$ }的最大值是．

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知 $\frac{\cos θ - \sin θ}{\cos θ + \sin θ} = - 3$ .

(1)、求 $\tan θ$ 的值；

(2)、求 $\frac{2 \sin^{2} θ + 1}{1 - 3 \cos^{2} θ}$ 的值.

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18. 已知集合 $A = \{x ∣ 1 \leq 2 x - 1 \leq 7\}$ ，函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 2 x - 3}}$ 的定义域为集合 $B$ ．

(1)、求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $M = \{x ∣ x \leq m\}$ ，求 $M \cup B = R$ 时 $m$ 的取值范围．

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19. 已知 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ ，
（1）求 $f (x)$ 的最小正周期和对称轴方程；
（2）求 $f (x)$ 在闭区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值．

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20. 已知函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 4^{x} - 3 \times 2^{x + 1}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求方程 $f (x) = - 8$ 的解集.

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21. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + 2 \cos^{2} x - 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (\frac{α}{2} - \frac{π}{3}) = \frac{10}{13}$ ， $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，求 $\sin (α + \frac{π}{4})$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 - \log_{2} x$ ， $g (x) = \{\begin{array}{l} |2^{x} - 1|, x \leq 1 \\ f (x) - 1, x > 1 \end{array}$ .

(1)、求 $g (x)$ 的最大值；

(2)、若对任意 $x_{1} \in [4, 16]$ ， $x_{2} \in R$ ，不等式 $f (2^{k} x_{1}) \cdot f (x_{1}^{2}) > g (x_{2})$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$f (x)$	$- 4$	$- 2$	$1$	$4$	$2$	$- 1$	$- 3$