浙江省杭州之江高级中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-03-15 类型：期中考试

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一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 设集合 $A = \{3, 5, 6, 8\}$ ，集合 $B = \{4, 5, 7, 8\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{5, 8\}$ B、 $\{3, 6\}$ C、 $\{4, 7\}$ D、 $\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

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2. 已知 $p : 0 < x < 2$ ， $q : - 1 < x < 3$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充要也不必要条件

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3. 命题“ $\forall x \in [0 ， + \infty) . x^{3} + x \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in (- \infty ， 0) . x^{3} + x < 0$ B、 $\forall x \in (- \infty ， 0) . x^{3} + x \geq 0$ C、 $\exists x_{0} \in [0 ， + \infty) . x_{0}^{3} + x_{0} < 0$ D、 $\exists x_{0} \in [0 ， + \infty) . x_{0}^{3} + x_{0} \geq 0$

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4. 幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象过点 $(4, 2)$ ，则 $f (2)$ 等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 $s$ 看作时间 $t$ 的函数，其图象可能是

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $f (\frac{x}{2} - 1) = 2 x + 3$ ，则 $f (6)$ 的值为（）

A、15 B、7 C、31 D、17

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7. 函数 $f (x) = 2^{x} + 3 x$ 的零点所在的一个区间是（）

A、（-2，-1） B、（-1，0） C、（0，1） D、（1，2）

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8. 若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 a x + 3, x \leq 1 \\ a x + 1, x > 1 \end{array}$ 是减函数，则a的取值范围是（）

A、 $[- 3, - 1]$ B、 $(- \infty, - 1]$ C、 $[- 1, 0)$ D、 $[- 3, 0)$

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二、选择题．（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）

9. 下列各组函数中是同一函数的是（）

A、 $f (x) = x + 2$ ， $g (x) = \sqrt[3]{x^{3}} + 2$ B、 $f (x) = \frac{x^{2} - 9}{x - 3}$ ， $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2} + 3$ C、 $f (x) = x^{2} + 2 {(x - 1)}^{0}$ ， $g (x) = x^{2} + 2$ D、 $f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x}$ ， $g (t) = \sqrt{t} + \frac{1}{t}$

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10. 下列说法正确的是（）

A、若 $a > b, c > d$ ，则 $a + c > b + d$ B、若 $a > b, c > d$ ，则 $a c > b d$ C、若 $a < b$ ，则 $a c^{2} < b c^{2}$ D、若 $a > b > 0, c < 0$ ，则 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$

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11. 若不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集是 $(- 3, 1)$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a < 0$ B、 $b > 0$ 且 $c < 0$ C、 $a + 2 b + 3 c > 0$ D、不等式 $a x^{2} - c x + b < 0$ 的解集是 $(- 2, - 1)$

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12. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 2 x + 2, x \leq 3 \\ - x + 8, x > 3 \end{array}$ 下列叙述正确的是（）

A、 $f (3) = 5$ B、 $g (x) = f (x) - \frac{1}{2}$ 的零点有3个 C、 $f (x) < 2$ 的解集为 $\{x | 0 < x < 2$ 或 $x > 6\}$ D、若a，b，c互不相等，且 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $a + b + c$ 的取值范围是 $(5, 9)$

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三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分．）

13. 已知集合 $S = \{a^{2}, 2 a, 0\}$ ，若 $4 \in S$ ，则实数 $a =$ .

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14. 函数 $f (x) = \sqrt{2^{x} - 8}$ 的定义域为．

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15. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} \sqrt{x}, x \geq 0 \\ 2^{x}, x < 0 \end{matrix}$ ，则 $f (f (- 3)) =$ .

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16. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + \frac{4}{b} = 1$ ，则 $\frac{2}{a} + 2 b$ 的最小值是．

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四、解答题：（本大题共6小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知集合 $A = \{x | 1 \leq x < 8\}, B = \{x | 2 < x < 10\}$ .求：

(1)、 $A \cup B$ ；

(2)、 $(∁_{R} A) \cap B$ .

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18. 求下列函数的最值．

(1)、求函数 $y = x + \frac{1}{x - 1} (x > 1)$ 的最小值．

(2)、已知 $0 < x < \frac{1}{3}$ ，求函数 $y = x (1 - 3 x)$ 的最大值．

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19. 已知函数 $f (x) = x - \frac{a}{x}$ ， $a \in R$ ，若 $f (1) = - 1$

(1)、求 $a$ 值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并用定义给出证明；

(3)、用定义证明 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增．

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20. 已知函数 $f (x) = a^{x + 1} - 3 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，若函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(2, 24)$ ．

(1)、求a的值及函数 $y = f (x)$ 的零点；

(2)、求 $f (x) \geq 6$ 的解集．

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21. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产 $x$ 万件，需另投入流动成本为 $C (x)$ 万元．在年产量不足8万件时， $C (x) = \frac{1}{3} x^{2} + 2 x$ （万元）；在年产量不小于8万件时， $C (x) = 7 x + \frac{100}{x} - 37$ ．每件产品售价为6元．假设小王生产的商品当年全部售完.

(1)、写出年利润 $P (x)$ （万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）；

(2)、年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

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22. 已知函数 $y = f (x)$ $(x \in R)$ 是偶函数．当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ．
（1）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）若函数 $f (x)$ 在区间 $[a, a + 2]$ 上单调，求实数 $a$ 的取值范围；
（3）设 $g (x) = - f (x) + 1$ ，求 $g (x)$ 在区间 $[a, a + 2]$ 上的最大值，其中 $a > - 1$ ．

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