【培优卷】湘教版（2024）七年级上册第三章一次方程（组）单元测试

试卷更新日期：2024-09-08 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 已知a ， b为任意有理数，下列说法正确的有（）
①关于x的方程 $a x + b = 0$ 可能是一元一次方程；
②关于x的方程 $a x = a b$ 的解为 $x = b$ ；
③当 $a, b (a \neq 0)$ 互为相反数时，关于x的方程 $a x + b = 0$ 的解是 $x = 1$ ．

A、①③ B、①② C、②③ D、①②③

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2. 下列说法正确的是（　　）

A、如果ab＝ac ，那么b＝c B、如果a＝b ，那么 $\frac{a}{c^{2} + 1} = \frac{b}{c^{2} + 1}$ C、如果b＝c ，那么 $\frac{b}{a} = \frac{c}{a}$ D、如果2x＝2a﹣b ，那么x＝a﹣b

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3. 下列解一元一次方程的步骤中，正确的是（）

A、方程3x-2=2x+1，移项，得3x-2x=1+2 B、方程 $\frac{1}{3}$ - $\frac{x - 1}{2}$ =1，去分母，得2-3(x-1)=1 C、方程3-x=2-5(x-1)，去括号，得3-x=2-5x-1 D、方程23x=32，系数化为1，得x=1

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4. 佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下：

时刻	12：00	13：00	14：00
里程碑上的数	是一个两位数，数字之和为7	十位数字与个位数字相比12：00时看到的刚好颠倒	比12：00看到的两位数中间多了个0

则12：00时看到的两位数是（）

A、16 B、25 C、34． D、52

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5. 已知关于x，y的方程组 ${\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{matrix}$ 的解为 ${\begin{matrix} x = 2 \\ y = 4 \end{matrix}$ ，则关于方程组 ${\begin{matrix} a_{1} (x + 1) + 2 b_{1} (y - 1) = 3 c_{1} \\ a_{2} (x + 1) + 2 b_{2} (y - 1) = 3 c_{2} \end{matrix}$ 的解为（）

A、 ${\begin{matrix} x = 5 \\ y = 7 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} x = 5 \\ y = 13 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} x = 1 \\ y = 3 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} x = 1 \\ y = 7 \end{matrix}$

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6. 对于代数式ax+b(a，b是常数)，当x分别等于3，2，1，0时，小虎同学依次求得下面四个结果：3，2，-1，-3.若其中有一个是错误的，则错误的结果是（）

A、3 B、2 C、-1 D、-3

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7. 已知关于x，y的方程组 ${\begin{matrix} x + 2 y = k \\ 2 x + 3 y = 3 k - 1 \end{matrix}$ ，以下结论：①当k=0时，方程组的解也是方程 $x - 2 y = - 4$ 的解；②存在实数k，使得x+y=0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y=6则k=1.其中正确的是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③ D、①②

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8. 某足球比赛的记分规则是：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分．若一个队踢了 14 场，负了 5 场，共得 19 分，则这个队胜了( )

A、6 场
B、5 场
C、4 场
D、3 场

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9. 有甲、乙、丙三种商品，如果购买 3 件甲商品、 2 件乙商品、 1 件丙商品共需 315 元，购买 1 件甲商品、 2 件乙商品、 3 件丙商品共需 285 元，那么购买甲、乙、丙三种商品各 1 件共需（）

A、50 元 B、100 元 C、150 元 D、200 元

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10. 用如图 1 所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图 2 所示的坚式和横式的两种无盖纸盒．现有 $m$ 张正方形纸板和 $n$ 张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，那么 $m + n$ 的值可能是（）

A、2022
B、2023
C、2024
D、2025

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 我们规定：若关于x的一元一次方程 $a x = b$ 的解为 $b + a$ ，则称该方程为“和解方程”．例如：方程 $2 x = - 4$ 的解为 $x = - 2$ ，而 $- 2 = - 4 + 2$ ，则方程 $2 x = - 4$ 为“和解方程”，请根据上述规定解答下列问题：若关于x的一元一次方程 $- 3 x = m n + n$ 是“和解方程”，并且它的解是 $x = n (n \neq 0)$ ，则 $m + n =$ ．

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12. 按下面的程序计算：

如果输入 $x$ 的值是正整数，输出结果是 $214$ ，那么满足条件的 $x$ 的值可以是．

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13. 某种零件由甲、乙、丙三个工作组加工．已知甲组有x人，每人每小时可加工8件；乙组的人数比甲组的a倍少4人，每人每小时可加工10件；丙组的人数比甲组的人数少6人，每人每小时加工12件．若三个工作组同时工作1小时恰好完成1188件，则满足条件的所有正整数a的和为．

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14. 已知关于x ， y的方程组 ${\begin{array}{l} 4 x - 3 y = n \\ 6 x + m y = 12 \end{array}$ 有无数多组解，则代数式﹣3（ $\frac{1}{3}$ n﹣mn）+2（mn﹣ $\frac{1}{2}$ m）的值为．

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15. 我国古代对于利用二元一次方程组解决实际问题早有研究，《九章算术》中记载：“今有上禾三秉．益实六斗，当下禾十秉，下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？“其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子，有下等稻子五捆．若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等．下等稻子每捆能打多少斗谷子？设上等稻子每捆能打 $x$ 斗谷子，下等稻子每捆能打 $y$ 斗谷子．根据题意可列方程组为．

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16. 把1—9这九个数填入3×3方格中，使其任意行、任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”.图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则x-y的值为.

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三、解答题（共9题，共72分）

17. 解方程

(1)、 $2 x + 3 (2 x - 1) = 16 - (x + 1)$

(2)、 $\frac{x - 7}{4} - \frac{5 x + 8}{2} = 1$ .

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18. 解方程（组）：

(1)、 $3 - 2 (x - 1) = 9$

(2)、 ${\begin{array}{l} y = 2 x - 3 \\ 3 x + 2 y = 8 \end{array}$

(3)、 ${\begin{array}{l} x + y - z = 11 \\ x + z - y = 1 \\ y + z - x = 5 \end{array}$

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19. 有三个整式 $2 (x - 1) ， \frac{x + 5}{2} ， \frac{2 (x + 3)}{3}$ ，从中任选两个整式构建一个方程，并解方程．

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20. 已知关于x的方程 $\frac{x}{3} + a = \frac{| a |}{2} x - \frac{1}{6} (x - 6)$

(1)、当a取何值时，方程的解是 $x = 3$ ；

(2)、当a取何值时，方程无解；

(3)、当a取何值时，方程有无穷多个解．

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21. 阅读探索：
【知识累积】
解关于a，b的方程组 $\{\begin{matrix} (a - 1) + 2 (b + 2) = 6 ， \\ 2 (a - 1) + (b + 2) = 6 . \end{matrix}$
解：设a-1=x，b+2=y，原方程组可变为 $\{\begin{matrix} x + 2 y = 6 ， \\ 2 x + y = 6 ， \end{matrix}$ 解方程组，得 $\{\begin{matrix} x = 2 ， \\ y = 2 ， \end{matrix}$ 即 $\{\begin{matrix} a - 1 = 2 ， \\ b + 2 = 2 ， \end{matrix}$
所以 $\{\begin{matrix} a = 3 \\ b = 0 \end{matrix}$ 此种解方程组的方法叫换元法。

(1)、【拓展提高】
运用上述方法解方程组 $\{\begin{matrix} (\frac{a}{3} - 1) + 2 (\frac{b}{5} + 2) = 4 ， \\ 2 (\frac{a}{3} - 1) + (\frac{b}{5} + 2) = 5 . \end{matrix}$

(2)、【能力运用】
已知关于x，y的方程组 $\{\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} ， \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} ， \end{matrix}$ 的解为 $\{\begin{matrix} x = 5 ， \\ y = 3 ， \end{matrix}$ 直接写出关于m，n的方程组 $\{\begin{matrix} 5 a_{1} (m + 3) + 3 b_{1} (n - 2) = c_{1} \\ 5 a_{2} (m + 3) + 3 b_{2} (n - 2) = c_{2} \end{matrix}$ 的解．

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22. 阅读材料并回答下列问题：
当m ， n都是实数，且满足 $m - n = 4$ ，就称点 $P (m - 2, 2 n + 1)$ 为“明德点”．
例如：点 $P (3, 3)$ ，令 ${\begin{cases} m - 2 = 3 \\ 2 n + 1 = 3 \end{cases}$ ，得 ${\begin{cases} m = 5 \\ n = 1 \end{cases}$ ， $m - n = 4$ ，所以 $P (3, 3)$ 是“明德点”；点 $Q (1, - 3)$ ，令 ${\begin{cases} m - 2 = 1 \\ 2 n + 1 = - 3 \end{cases}$ ，得 ${\begin{cases} m = 3 \\ n = - 2 \end{cases}$ ， $m - n = 5 \neq 4$ ，所以 $Q (1, - 3)$ 不是“明德点”．

(1)、点 $A (- 1, - 7)$ ， $B (5, 7)$ 是“明德点”的是点；

(2)、点 $C (2 a, a - 3)$ 是“明德点”，求点C的坐标；

(3)、若以关于x ， y的二元一次方程组 ${\begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = t \end{cases}$ 的解为坐标的点 $D (x, y)$ 是“明德点”，求t的值．

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23. 五一假期商场促销，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．
A型：满298元减100元；B型：满198元减68元；C型：满68元减20元．

(1)、顾客甲使用三种不同类型的优惠券消费，共优惠640元，已知该顾客用了2张A型优惠券，5张C型优惠券，则还用了张B型优惠券．

(2)、顾客乙用了A ， B型优惠券共6张，优惠了536元，求该顾客使用A ， B优惠券各几张；

(3)、小丽共领到三种不同类型的优惠券各15张，她同时使用A ， B ， C中两种不同类型的优惠券消费（部分未使用），共优惠了708元，她可能用了哪几种优惠券组合方法？每种方法中不同类型的优惠券各几张？（请写出具体解答过程）

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24. 每年“双十一”购物节，商家都会利用这个契机进行促销活动.今年某超市也有促销活动，小明一家去逛该超市，准备购买纸巾，根据以下素材，探索完成任务．
素材1   纸巾区域推出两种活动：活动一：购物满100元送25元券，满200元送50元券，满300元送75元券，…，上不封顶，送的券当天有效，一次性用完．
活动二：所有商品打8.5折．（注：两种活动不能同时参加）
素材2   小明家用的两种纸巾信息（超市标价）
素材3   小明家平时同时使用这两种纸巾，平均三天用1包清风牌纸巾，平均五天用1包4D溶纸巾；小明家清风牌纸巾还有1袋存货，4D溶纸巾存货不清楚.

(1)、任务1   半年（按180天计算），试求出需要消耗清风牌纸巾多少袋？消耗4D溶纸巾多少箱？

(2)、任务2 按存半年的量计算，还需要购买2种纸巾，其中4D溶纸巾x箱，若选择活动二，则所需的总费用为元（用含x的代数式表示）；

(3)、任务3 小明突然想起4D溶纸巾没有存货，按半年所需量，请探索送券和打折哪个更优惠？并写出探索过程.

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25. 【问题背景】2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷.
【建立模型】设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷.

(1)、用x ， y的式子表示2台大收割机和5台小收割机同时工作1h共收割小麦公顷；3台大收割机和2台小收割机同时工作1h共收割小麦公顷；

(2)、建立模型，解决实际问题.求1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷?

(3)、【方案决策】
随着天气的变化，为了“颗粒归仓”、“抢收抢种”，某乡镇准备引进上述型号的收割机若干台，每台收割机每天工作 $15 h$ ，连续工作20天，共收割小麦420公顷.为了完成任务，问有多少种引进收割机的方案.

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【培优卷】湘教版（2024）七年级上册第三章 一次方程（组） 单元测试

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共9题，共72分）

【培优卷】湘教版（2024）七年级上册第三章一次方程（组）单元测试