【培优卷】湘教版（2024）七年级上册3.3一元一次方程的解法同步练习

试卷更新日期：2024-09-08 类型：同步测试

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一、选择题

1. 将方程 $\frac{y + 2}{4} + \frac{2 y - 1}{6} = 1$ 去分母得到 $3 y + 2 + 4 y - 1 = 12$ ，错在（）

A、分母的最小公倍数找错 B、去分母时，漏乘了分母为1的项 C、去分母时，分子部分没有加括号 D、去分母时，各项所乘的数不同

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2. 若 $x = 3$ 是方程 $a x + 2 = - 4$ 的解，则关于 $x$ 的方程 $a (1 - 2 x) + 3 = - 1$ 的解是（）

A、 $x = - \frac{1}{2}$ B、 $x = 1$ C、 $x = - 1$ D、 $x = - 2$

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3. 若方程 $\frac{1 - 2 x}{6} + \frac{x + 1}{3} = 1 - \frac{2 x + 1}{4}$ 与关于x方程的 $x + \frac{6 x - a}{3} = \frac{a}{6} - 3 x$ 有相同的解，则a的值为（）

A、6 B、 $- 5$ C、1 D、2

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4. 把方程 $\frac{0.1 - 0.2 x}{0.3} - 1 = \frac{0.5 - x}{0.4}$ 的分母化为整数，结果应为（）．

A、 $\frac{0.1 - 02 x}{3} - 1 = \frac{0.5 - x}{4}$ B、 $\frac{1 - 2 x}{3} - 1 = \frac{5 - 10 x}{4}$ C、 $\frac{1 - 2 x}{3} - 10 = \frac{5 - 10 x}{4}$ D、 $\frac{1 - 2 x}{3} - 1 = \frac{5 - x}{4}$

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5. 小明在解关于x的一元一次方程 $\frac{x}{3} - m = \frac{1}{4}$ 时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为 $4 x - m = 3$ ，并解得为 $x = 1$ ，请根据以上已知条件求出原方程正确的解为（）

A、 $x = 2$ B、 $x = 1$ C、 $x = \frac{1}{12}$ D、 $x = \frac{15}{4}$

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6. 下面的框图表示解方程 $\frac{x + 1}{2} ＝ \frac{8 - x}{4}$ 的流程，其中第①步和第⑤步变形的依据相同，这两步变形的依据是（）

A、乘法分配律 B、分数的基本性质 C、等式的两边加（或减）同一个数，结果仍相等 D、等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等

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7. 老师在黑板上出了一道解方程的题 $\frac{2 x - 1}{3} = 1 - \frac{x + 2}{4}$ ，小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的：
4（2x-1）=1-3（x+2）①
8x-4=1-3x-6②
8x+3x=1-6+4③
11x=-1④
x= $- \frac{1}{11}$ ⑤
老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误，请你指出他错在（）

A、① B、② C、③ D、④

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8. 小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是 $\frac{1}{3}$ .( - $\frac{x - 1}{2}$ ＋x)＝1－ $\frac{x - △}{5}$ ，这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x＝5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业。同学们，你能补出这个常数吗？它应该是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

9. 小明在完成“解方程 $\frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x - \frac{5}{3} = 0$ ”时，他的做法如图所示：

同桌的小芳对小明说：“你做错了，第①步应该去分母”，小明却认为自己没错．你认为小明做了（填“对”或“错”），理由是．

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10. 老师在黑板上出了一道解方程的题：4（2x﹣1）=1﹣3（x+2），小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的：
8x﹣4=1﹣3x+6，①8x﹣3x=1+6﹣4，②
5x=3，③x= $\frac{5}{3}$ ．④
老师说：小明解一元一次方程没有掌握好，因此解题时出现了错误，请你指出他错在哪一步：（填编号），并说明理由．然后，你自己细心地解这个方程．

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11. 如果关于x的方程3x+4=0与方程3x+4k=18是同解方程，则k=

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12. 已知关于x的方程 $\frac{x}{2} - \frac{2 + a x}{6} = \frac{x - 6}{3}$ 的解为负整数，则整数a的所有取值的和为．

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13. 若关于x的方程 $\frac{3 x}{2} + \frac{a x + 2}{3} = b$ 有无数解，则 $2 a + 3 b$ 的值为．

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三、计算题

14. 解下列方程：

(1)、3x+2=2x-5

(2)、3（2x+1）=4(x-3)

(3)、 $\frac{1}{3} (4 - 3 x) = \frac{1}{2} (5 x - 6)$

(4)、 $\frac{3}{13} x + \frac{1}{23} = \frac{5}{11} x + \frac{1}{7}$

(5)、 $2 x - \frac{2}{3} (x - 2) = \frac{1}{3} [x - \frac{1}{2} (3 x + 1)]$

(6)、 $\frac{1}{2} {\frac{1}{2} [\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x - 2) - 2] - 2} - 2 = 2$

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15. 解关于x的方程 $4 m^{2} - x = 2 m x + 1$

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16. 解关于x的方程 $\frac{x - a}{b} - \frac{x - b}{a} = \frac{b}{a}$ 其中 $a \neq 0 ， b \neq 0 ， a \neq b$

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17. $a b c = 1$ ，且 $a b + a + 1 \neq 0 ， b c + c + 1 \neq 0 ， a c + c + 1 \neq 0$ ，解方程 $\frac{2 a x}{a b + a + 1} + \frac{2 b x}{b c + b + 1} + \frac{2 c x}{a c + c + 1} = 1$ ．

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四、解答题

18. 用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是小凯错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务，
$\frac{2 x}{3} - \frac{4 - 3 x}{6} = \frac{5 x + 8}{3}$
解：2×2x﹣（4﹣3x）＝2（5x+8）第一步
4x﹣4+3x＝10x+16第二步
4x+3x﹣10x＝16﹣4第三步
﹣3x＝12第四步
x＝﹣4第五步

(1)、任务一：填空：
①以上解题过程中，第一步是依据进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是；
②第步开始出错，这一步错误的原因是；
③请直接写出该方程的正确解：；

(2)、任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项给同学们提一条建议．

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19. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程 $3 x = 6$ 和 $x + 2 = 0$ 为“美好方程”．

(1)、请判断方程 $4 x - x = 6$ 与方程 $x + 6 = - 2 x$ 是否为“美好方程”，请说明理由；

(2)、若关于x的方程 $3 x + a = 2$ 与方程 $4 x - 2 = x + 10$ 是“美好方程”，求a的值．

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20. 阅读下列材料：
我们规定：若关于 $x$ 的一元一次方程 $a x = b$ 的解为 $x = b + a$ ，则称该方程为“和解方程”.例如：方程 $2 x = - 4$ 的解为 $x = - 2$ ，而 $- 2 = - 4 + 2$ ，则方程 $2 x = - 4$ 为“和解方程”.请根据上述规定解答下列问题：

(1)、下列关于 $x$ 的一元一次方程是“和解方程”的有：.
① $\frac{2}{3} x = - \frac{2}{3}$ ；② $- 3 x = \frac{9}{4}$ ；③ $5 x = - 2$

(2)、若关于 $x$ 的一元一次方程 $3 x = 2 a - 10$ 是“和解方程”，求 $a$ 的值.

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21. 对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）⊗（c，d）＝bc﹣ad．例如：（1，2）⊗（4，5）＝2×4﹣1×5．
根据上述规定解决下列问题：

(1)、有理数对（5，3）⊗（﹣2，1）＝；

(2)、若有理数对（2，3x﹣1）⊗（6，x+2）＝22，则x＝；

(3)、当满足等式（4，k﹣2）⊗（x，2x﹣1）＝6的x是整数时，求整数k的值．

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22. 用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝ab²＋2ab＋a.如：1*3＝1×3²＋2×1×3＋1＝16.

(1)、求2*(－2)的值；

(2)、若2*x＝m，( $\frac{1}{4}$ x)*3＝n(其中x为有理数)，试比较m，n的大小；

(3)、若[ $\frac{a + 1}{2}$ *(－3)]* $\frac{1}{2}$ ＝a＋4，求a的值．

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