人教版九年级上学期数学课时进阶测试24.4弧长及扇形面积（三阶）

试卷更新日期：2024-09-06 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在扇形 $B O C$ 中， $∠ B O C = 60 ° ， O D$ 平分 $∠ B O C$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 为半径 $O B$ 上一动点．若 $O B = 3$ ，则阴影部分周长的最小值为（）

A、 $\frac{6 \sqrt{2} + π}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2} + π}{3}$ C、 $\frac{6 \sqrt{2} + π}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2} + 2 π}{3}$

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2. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1 ， B C = \sqrt{3} ， P$ 是 $A D$ 边上的一个动点，连结 $B P$ ，点 $C$ 关于直线 $B P$ 的对称点为 $C_{1}$ ，当 $P$ 运动时， $C_{1}$ 也随之运动．若 $P$ 从 $A$ 运动到 $D$ ，则点 $C_{1}$ 经过的路径长是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$ B、 $\frac{5 \sqrt{3}}{6} π$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{3}$

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3. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ，半径为6的 $⊙ O$ 与 $A B$ 相切于点 $A$ ，与 $B C$ 交于点 $D$ ，连接 $O C$ ， $O D$ ， $A D$ ，有下列结论：① $C A$ 平分 $∠ O C D$ ；② $∠ A D B = ∠ A D O$ ；③若 $∠ A C B = 20 °$ ，扇形 $O A D$ 的面积为 $\frac{2}{3} π$ ；④若 $∠ A C B = 30 °$ ，则 $A C ⊥ O D$ ．其中正确的是（）

A、①③ B、②④ C、②③④ D、①②④

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C A = C B$ ， $∠ A C B = 9 0^{∘}$ ， $A B = 2$ ，点 $D$ 为 $A B$ 的中点，以点 $D$ 为圆心作圆心角为 $9 0^{∘}$ 的扇形 $D E F$ ，点 $C$ 恰在弧 $E F$ 上，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{π}{2} + \frac{1}{2}$ B、 $π - \frac{1}{4}$ C、 $\frac{π}{4} + \frac{1}{2}$ D、 $\frac{π}{4} - \frac{1}{2}$

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5. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $∠ C = 60 °$ ， $A B = 2$ .以A为圆心， $A B$ 长为半径画 $\overset{⌢}{B D}$ ，点P为菱形内一点，连 $P A$ ， $P B$ ， $P D$ .若 $P A = P B$ ，且 $∠ A P B = 120 °$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{2}{3} π - \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ B、 $\frac{2}{3} π - \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{2}{3} π - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2}{3} π - \frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 如图，正方形ABCD的边长为3，将长为2 $\sqrt{3}$ 的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发，在AB上滑动，同时点F在BC上滑动，当点F到达点C时，运动停止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线长为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{6} π$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$

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7. 如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为2），设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，则图中阴影部分面积（）

A、 $\frac{5}{4}$ π﹣ $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ π﹣5 C、2π﹣5 D、3π﹣2

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二、填空题

8. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 30 °$ ，以直角边 $A B$ 为直径作半圆交 $A C$ 于点D，以 $A D$ 为边作等边 $△ A D E$ ，延长 $E D$ 交 $B C$ 于点F， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）

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9. 如图AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是（写所有正确论的号）
①AM平分∠CAB；② $\frac{A C}{A M} = \frac{A M}{A B}$ ；③若AB=4，∠APE=30°，则 $\overset{⌢}{B M}$ 的长为 $\frac{π}{3}$ ；④若AC=3BD，则有tan∠MAP= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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10. 如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=4，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆，半圆恰好经过三角形的直角顶点C，以点D为顶点，作90°的∠EDF，与半圆交于点E，F，则图中阴影部分的面积是．

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11. 如图，点0为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点0为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r₁；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r₂ ，则r₁：r₂=

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三、解答题

12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 60 °$ ，把 $△ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转，使点 $B$ 落到 $C A$ 延长线上的点 $D$ 处，点 $C$ 落在点 $E$ 处，得到 $△ A D E$ ，旋转过程中得到两条弧 $\overset{⌢}{B D}$ 和 $\overset{⌢}{C E}$ ， $\overset{⌢}{B D}$ 与 $A E$ 交于点 $F$ ，连接 $B D$ ， $F C$ ， $F D$ .

(1)、求 $∠ B D F$ 的度数；

(2)、若 $B D = 6$ ，求阴影部分的面积；

(3)、若 $A C = 6$ ， $\overset{⌢}{B D}$ 与线段 $D E$ 只有一个公共点 $D$ ，直接写出线段 $A B$ 的取值范围.

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13. 如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E．

(1)、求证：DE是⊙O的切线；

(2)、当DE=1，∠C=30°时，求图中阴影部分的面积．

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