江西省景德镇市乐平中学2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题

试卷更新日期：2024-07-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{2} + 2 a_{4} + a_{10} = 68$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、272 B、270 C、157 D、153

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2. 某电动摩托车制造企业为了解其新研发的一款电动摩托车的续航里程（单位：公里）情况，随机抽查得到了10000个样本，根据统计这款新型电动摩托车的续航里程 $ξ \sim N (60, σ^{2})$ ，若 $P (ξ \leq 50) = 0.010$ ，则该样本中续航里程不小于70公里的电动摩托车大约有（）

A、10辆 B、100辆 C、180辆 D、900辆

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3. 下列说法正确的是（）

A、一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17 B、根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} = 4.712$ ，根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验 $(x_{0.05} = 3.841)$ ，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 C、“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件 D、若随机变量 $ξ$ ， $η$ 满足 $η = 3 ξ - 2$ ，则 $D (η) = 3 D (ξ) - 2$

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4. 若双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F (2, 0)$ ，且点 $F (2, 0)$ 到双曲线 $C$ 的一条渐近线的距离为 $1$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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5. 泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为 $P (x = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ} (k = 0, 1, 2, \dots)$ ，其中e为自然对数的底数， $λ$ 是泊松分布的均值．当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中 $λ = n p$ ．一般地，当 $n \geq 20$ 而 $p \leq 0.05$ 时，泊松分布可作为二项分布的近似．若随机变量 $X ~ B (1000, 0.001)$ ， $P (X \geq 2)$ 的近似值为（）

A、 $1 - \frac{1}{e}$ B、 $1 - \frac{2}{e}$ C、 $1 - \frac{e}{4}$ D、 $1 - \frac{1}{e^{2}}$

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6. 已知 $m, n \in (0, + \infty)$ ， $\frac{1}{m} + n = 4$ ，则 $m + \frac{9}{n}$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 若“ $\exists x \in M, 0 < x < 3$ ”为真命题，“ $\forall x \in M, x < 2$ ”为假命题，则集合 $M$ 可以是（）

A、 $\{x |x < 0\}$ B、 $\{x |0 \leq x \leq 1\}$ C、 $\{x |1 < x < 3\}$ D、 $\{x |x \leq 1\}$

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8. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在R上的奇函数， $f' (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且当 $x \in (- \infty ， 0)$ 时， $x f^{'} (x) < 2 f (x)$ ， $f (- 1) = 0$ ，则不等式 $f (x^{2}) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， a) \cup (0 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别为 $B B_{1}, D D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $O C ⊥ O F$ B、CE与OF所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ C、 $A, E, C_{1}, F$ 四点共面 D、 $△ A E F$ 的面积为 $2 \sqrt{6}$

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10. 若直线 $l : x - 2 cos θ \cdot y = 0$ 与圆 $E : x^{2} + y^{2} - 4 \sqrt{2} x - 1 = 0$ 交于两点 $A, B$ ，则（）

A、当 $cos θ = \frac{1}{2}$ 时，直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ B、圆 $E$ 的圆心坐标为 $(- 2 \sqrt{2}, 0)$ C、圆 $E$ 的半径为3 D、 $|A B|$ 的取值范围是 $[2, \frac{2 \sqrt{185}}{5}]$

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11. 已知函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ， $f (x + 3) + g (x) = 3$ ， $f (x) - g (- 1 - x) = 1$ ，且 $g (- 1) = 2$ ， $g (x - 1)$ 为偶函数，则下列选项正确的是（）

A、函数 $g (x)$ 的图象关于 $x = - 1$ 对称 B、 $f (2) = 1$ C、 $g (2) = 0$ D、 $\sum_{k = 1}^{2025} [f (k) + g (k)] = 6074$

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三、填空题

12. 若 $f (x) = x^{3} - f^{'} (1) x^{2} + x + 5$ ，则 $f^{'} (1) =$ .

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13. 多项式 ${(2 a - b)}^{2} {(a + b)}^{8}$ 的展开式中， $a^{3} b^{7}$ 的系数是.

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14. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点， $P$ 为椭圆 $C$ 上的一点，且 $\vec{P F_{1}} ⊥ \vec{P F_{2}}$ ，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为9，则 $b$ 的值为．

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四、解答题

15. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，M，N分别为棱AB， $C_{1} C$ 的中点， $Δ A B C$ 为等腰直角三角形，且 $A_{1} A = A C = B C = 2$ .

(1)、证明： $A B ⊥ M N$ ；

(2)、求点 $A_{1}$ 到平面 $B_{1} M N$ 的距离.

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16. 某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从7名社员中随机选择2名参加友谊赛.新学年友谊赛从10月份开始，此时7名社员中有3名新社员没有参加过此前的友谊赛.

(1)、设10月份参加比赛的新社员的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布与期望；

(2)、求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率.

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17. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ，右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点.

(1)、若直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ，求 $| A B |$ ；

(2)、记线段 $A B$ 的垂直平分线交直线 $x = - 1$ 于点 $M$ ，当 $∠ A M B$ 最大时，求直线 $l$ 的方程.

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18. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{1} + \frac{a_{2}}{2} + \frac{a_{3}}{3} + \dots + \frac{a_{n}}{n} = a_{n + 1} - 3$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $4 S_{n} = b_{n} + 1$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{a_{n} \cdot b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导函数，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x, f (x))$ 处的曲率 $K = \frac{|f^{″} (x)|}{{(1 + {[f^{'} (x)]}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

(1)、求曲线 $f (x) = \ln x + x$ 在 $(1, 1)$ 处的曲率 $K_{1}$ 的平方；

(2)、求余弦曲线 $h (x) = \cos x (x \in R)$ 曲率 $K_{2}$ 的最大值；

(3)、余弦曲线 $h (x) = \cos x (x \in R)$ ，若 $g (x) = e^{x} h (x) + x h^{'} (x)$ ，判断 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上零点的个数，并写出证明过程.

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