2024届浙江省嘉兴市二模数学试题

试卷更新日期：2024-04-12 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $M = {x ∣ x < 0}, N = {x ∣ - 2 < x < 4}$ ，则 $(∁_{R} M) \cap N =$ （）

A、 ${x ∣ x > - 2}$ B、 ${x ∣ - 2 < x < 0}$ C、 ${x ∣ x < 4}$ D、 ${x ∣ 0 \leq x < 4}$

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2. 已知函数 $f (x) = cos (ω x + φ) (ω > 0)$ 是奇函数，则 $φ$ 的值可以是（）

A、0 B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $π$

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3. 设 $z \in C$ ，则 $z + \bar{z} = 0$ 是 $z$ 为纯虚数的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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4. 若正数 $x, y$ 满足 $x^{2} - 2 x y + 2 = 0$ ，则 $x + y$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、2

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5. 如图，这是一个水上漂浮式警示浮标，它的主体由上面一个圆锥和下面一个半球体组成.已知该浮标上面圆锥的侧面积是下面半球面面积的2倍，则圆锥的体积与半球体的体积的比值为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$

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6. 已知圆 $C : {(x - 5)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = r^{2} (r > 0), A (- 6, 0), B (0, 8)$ ，若圆 $C$ 上存在点 $P$ 使得 $P A ⊥ P B$ ，则 $r$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 5]$ B、 $[5, 15]$ C、 $[10, 15]$ D、 $[15, + \infty)$

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7. 6位学生在游乐场游玩 $A, B, C$ 三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若 $A$ 项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（）

A、180种 B、210种 C、240种 D、360种

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8. 已知定义在 $(0, + \infty)$ 上且无零点的函数 $f (x)$ 满足 $x f^{'} (x) = (1 - x) f (x)$ ，且 $f (1) > 0$ ，则（）

A、 $f (\frac{1}{2}) < f (1) < f (2)$ B、 $f (2) < f (1) < f (\frac{1}{2})$ C、 $f (\frac{1}{2}) < f (2) < f (1)$ D、 $f (2) < f (\frac{1}{2}) < f (1)$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知一组数据 $1, 3, 5, 7, 9$ ，其中位数为 $a$ ，平均数为 $\bar{x}$ ，极差为 $b$ ，方差为 $s^{2}$ .现从中删去某一个数，得到一组新数据，其中位数为 $a^{'}$ ，平均数为 $\bar{x^{'}}$ ，极差为 $b^{'}$ ，方差为 ${s^{'}}^{2}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、若删去3，则 $a < a^{'}$ B、若删去9，则 $\bar{x} < \bar{x^{'}}$ C、无论删去哪个数，均有 $b \geq b^{'}$ D、若 $\bar{x} = \bar{x^{'}}$ ，则 $s^{2} < {s^{'}}^{2}$

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10. 已知角 $α$ 的顶点与原点重合，它的始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边过点 $A (a, b) (a b \neq 0, a \neq b)$ ，定义： $T i (α) = \frac{a + b}{a - b}$ .对于函数 $f (x) = T i (x)$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{4}, 0)$ 对称 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ 上单调递增 C、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后得到一个偶函数的图象 D、方程 $f (x) = \frac{1}{2}$ 在区间 $[0, π]$ 上有两个不同的实数解

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11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图，已知抛物线 $Ω : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线为 $l, O$ 为坐标原点，在 $x$ 轴上方有两束平行于 $x$ 轴的入射光线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，分别经 $Ω$ 上的点 $A (x_{1}, y_{1})$ 和点 $B (x_{2}, y_{2})$ 反射后，再经 $Ω$ 上相应的点 $C$ 和点 $D$ 反射，最后沿直线 $l_{3}$ 和 $l_{4}$ 射出，且 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离等于 $l_{3}$ 与 $l_{4}$ 之间的距离.则下列说法中正确的是（）

A、若直线 $l_{3}$ 与准线 $l$ 相交于点 $P$ ，则 $A, O, P$ 三点共线 B、若直线 $l_{3}$ 与准线 $l$ 相交于点 $P$ ，则 $P F$ 平分 $∠ A P C$ C、 $y_{1} y_{2} = p^{2}$ D、若直线 $l_{1}$ 的方程为 $y = 2 p$ ，则 $cos ∠ A F B = \frac{7}{25}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{a} = (- 1, \sqrt{3}), \vec{b} = (\sqrt{3}, - 1), \vec{c}$ 是非零向量，且 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角相等，则 $\vec{c}$ 的坐标可以为.（只需写出一个符合要求的答案）

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13. 设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $b_{1} = - 1, b_{5} = 8 b_{2}$ ， $(1 - 2^{n}) S_{n} = n (n + 1) T_{n}$ ，则 $a_{n} =$ .

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14. 在四面体 $A B C D$ 中， $B C = 2, ∠ A B C = ∠ B C D = 90^{\circ}$ ，且 $A B$ 与 $C D$ 所成的角为 $60^{\circ}$ .若四面体 $A B C D$ 的体积为 $4 \sqrt{3}$ ，则它的外接球半径的最小值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，已知 $2 cos A - 3 cos 2 A = 3$ .

(1)、求 $cos A$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $2 b = 3 c$ ，求 $sin C$ 的值.

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16. 在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, P A$ $∥$ $Q D$ ， $B C = 2 A B = 2 P A = 2, ∠ A B C = 60^{\circ}$ .

(1)、证明：平面 $P C D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $P Q = 2 \sqrt{2}$ ，求平面 $P C Q$ 与平面 $D C Q$ 夹角的余弦值.

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17. 为了有效预防流感，很多民众注射了流感疫苗.市防疫部门随机抽取了1000人进行调查，发现其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外没注射疫苗的200人中有80人感染流感.医学研究表明，流感的检测结果有检错的可能，已知患流感的人其检测结果有 $95 %$ 呈阳性（流感），而没有患流感的人其检测结果有 $99 %$ 呈阴性（未感染）

(1)、估计该市流感感染率是多少？

(2)、根据所给的数据，判断是否有99％的把握认为注射流感疫苗与预防流感有关；

(3)、已知某人的流感检查结果呈阳性，求此人真的患有流感的概率.（精确到0.001）
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
$P (K^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

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18. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的虚轴长为4，渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、过右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左､右两支分别交于点 $A, B$ ，点 $M$ 是线段 $A B$ 的中点，过点 $F$ 且与 $l$ 垂直的直线 $l^{'}$ 交直线 $O M$ 于点 $P$ ，点 $Q$ 满足 $\vec{P Q} = \vec{P A} + \vec{P B}$ ，求四边形 $P A Q B$ 面积的最小值.

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19. 已知集合 $A = \{\sum_{i = 1}^{m} 2^{a_{i}} ∣ 0 \leq a_{1} < a_{2} < \dots < a_{m}, a_{i} \in N\}$ ，定义：当 $m = t$ 时，把集合 $A$ 中所有的数从小到大排列成数列 $\{b {(t)}_{n}\}$ ，数列 $\{b {(t)}_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S {(t)}_{n}$ .例如： $t = 2$ 时， $b {(2)}_{1} = 2^{0} + 2^{1} = 3, b {(2)}_{2} = 2^{0} + 2^{2} = 5, b {(2)}_{3} = 2^{1} + 2^{2} = 6, b {(2)}_{4} = 2^{0} + 2^{3} = 9, \dots$ ， $S {(2)}_{4} = b {(2)}_{1} + b {(2)}_{2} + b {(2)}_{3} + b {(2)}_{4} = 23$ .

(1)、写出 $b {(2)}_{5}, b {(2)}_{6}$ ，并求 $S {(2)}_{10}$ ；

(2)、判断88是否为数列 $\{b {(3)}_{n}\}$ 中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；

(3)、若2024是数列 $\{b {(t)}_{n}\}$ 中的某一项 $b {(t_{0})}_{n_{0}}$ ，求 $t_{0}, n_{0}$ 及 $S {(t_{0})}_{n_{0}}$ 的值.

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$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828