浙江省2023-2024学年高二下学期6月学业水平第二次适应性联考数学试题

试卷更新日期：2024-06-30 类型：期末考试

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一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）

1. 已知集合 $A = {x ∣ - 2 \leq x < 5}$ ， $B = \{- 3, 0, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{- 2, 0\}$ C、 $\{0, 3\}$ D、 $\{- 2, 0, 3\}$

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2. 复数 $z = 1 - 2024 i$ （ $i$ 为虚数单位）的虚部是（）

A、1 B、 $- 2024$ C、2024 D、 $- 2024 i$

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3. 函数 $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{1}{sin x}$ 的定义域为（）

A、 $(0, 1]$ B、 $[- 1, 0)$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $[- 1, 0) \cup (0, 1]$

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4. 样本数据1，3，5，6，7，10的中位数为（）

A、5 B、5.5 C、6 D、5或6

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5. 下列函数在定义域上为减函数的是（）

A、 $f (x) = 2 x - 1$ B、 $f (x) = \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = sin x$ D、 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

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6. 已知 $tan α = 3$ ，则 $\frac{cos α - 2 sin α}{3 sin α + cos α}$ 的值（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、2

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7. 已知 $f (x) = |ln x|$ ，若 $a = f (\frac{1}{3})$ ， $b = f (2)$ ， $c = f (4)$ ，则（）

A、 $c<a<b$ B、 $b < a < c$ C、 $a < b < c$ D、 $b<c<a$

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8. 在一次数学考试中，超过85分（含85分）为优秀，现有5位学生成绩如下：79，83，87，90，95.从这5位学生中随机抽取2位，则抽到的2位同学考试成绩都为优秀的概率（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{2}{5}$

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9. 已知实数 $a \in R$ ， $f (x) = \frac{2^{x}}{2^{a x} - 1}$ 是奇函数，则 $a =$ （）

A、2 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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10. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口， $Peukert$ 于1898年提出蓄电池的容量 $C$ （单位： $Ah$ ），放电时间 $t$ （单位： $h$ ）与放电电流 $I$ （单位： $A$ ）之间关系的经验公式： $C = I^{n} \cdot t$ ，其中 $n$ 为 $Peukert$ 常数.为测算某蓄电池的 $Peukert$ 常数 $n$ ，在电池容量不变的条件下，当放电电流 $I = 30 A$ 时，放电时间 $t = 15 h$ ；当放电电流 $I = 40 A$ 时，放电时间 $t = 8 h$ .若计算时取 $lg 2 \approx 0.3$ ， $lg 3 \approx 0.477$ ，则该蓄电池的 $Peukert$ 常数 $n$ 大约为（）

A、1.25 B、1.75 C、2.25 D、2.55

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11. 我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，若函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 1$ 的图象关于点 $(x_{0}, y_{0})$ 成中心对称图形，则（）

A、 $x_{0} = 0$ B、 $x_{0} = \frac{1}{2}$ C、 $x_{0} = 1$ D、 $x_{0} = 2$

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12. 已知关于 $x$ 的不等式 $(\frac{1}{2} sin x - 2 a) [x^{2} - (2 a + 1) x + 1] \leq 0$ 对任意 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{16}, \frac{1}{4}]$ B、 $[\frac{1}{8}, \frac{1}{4}]$ C、 $[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$ D、 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}]$

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二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.）

13. 已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (x, 2)$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x = 4$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = - 1$ C、若 $|\vec{b}| = \sqrt{5}$ ，则 $x = 1$ D、若 $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$ ，则 $x = \frac{3}{2}$

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14. 已知 $m$ ， $n$ ， $l$ 是三条不重合的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个两两不重合的平面，则下列命题中真命题是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $n \subset α$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $l ⊥ m$ ， $l ⊥ n$ ， $m \subset α$ ， $n \subset α$ ，则 $l ⊥ α$ C、若 $m ⊥ α$ ， $l / / β$ ， $l ∥ m$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α \cap β = l$ ， $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $l ⊥ γ$

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15. 已知函数 $f (x) = sin ω x (ω > 0)$ ，则下列正确的是（）

A、函数的值域为 $[- 1, 1]$ B、函数 $y = |f (x)|$ 的最小正周期为 $\frac{2 π}{ω}$ C、当 $ω = 1$ 时，方程 $f (x) = lg x$ 有且仅有1个实根 D、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增，则 $0 < ω \leq \frac{3}{2}$

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16. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 1$ ， $A B = B C = A C = \sqrt{3}$ ，点 $P$ 在棱 $A B$ 上运动（含端点），则下列结论正确的是（）

A、直线 $A_{1} P$ 与直线 $C C_{1}$ 所成角的范围是 $[0, \frac{π}{3}]$ B、存在点 $P$ ，使得 $A_{1} B ⊥$ 平面 $B_{1} P C$ C、若 $P$ 为棱 $A B$ 的中点，则平面 $A_{1} C_{1} P$ 截三棱柱所得截面积为 $\frac{15 \sqrt{3}}{16}$ D、若 $Q$ 为棱 $B C$ 上的动点，则三棱锥 $P - A_{1} B_{1} Q$ 体积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $sin A = \frac{1}{4}$ ，则 $sin B =$ .

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18. 若 $x, y > 0$ ，且 $x + 2 y = 1$ ，则 ${log}_{\frac{1}{2}} x + {log}_{\frac{1}{2}} y$ 的最小值为； $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 的最小值为.

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19. 若函数 $f (x) = cos x + a$ ，存在 $x_{1}, x_{2} \in R$ 使得 $f (x_{1}) \cdot f (x_{2}) = - 1$ ，则实数 $a$ 的值为.

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20. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $M$ ， $N$ 分别为线段 $B_{1} C$ ， $D_{1} C_{1}$ 的中点，点 $Q$ 在矩形 $D_{1} B_{1} B D$ 及其内部运动，则 $△ Q M N$ 周长的最小值为.

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四、解答题（本大题共3小题，共33分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

21. 已知平面向量 $\vec{a} = (2 sin x, \sqrt{3} cos (\frac{π}{2} - x))$ ， $\vec{b} = (sin (\frac{π}{2} + x), 2 sin x)$ ，且函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} - \sqrt{3}$ .

(1)、求 $f (\frac{π}{3})$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(3)、求函数 $y = f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值，并求出取得最大值时 $x$ 的值.

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22. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ ，底面是边长为4的正方形， $M$ ， $N$ 分别为棱 $A P$ ， $B C$ 的中点， $P A = P B$ ， $C P = D P = 3$ ， $∠ A C P = \frac{π}{4}$ .

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $C D P$ ；

(2)、求二面角 $D - B C - P$ 的平面角余弦值.

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23. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} + a x + b (a, b \in R)$ ，函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ .

(1)、若 $f (x) = f (2 - x)$ ，且 $f (2) = 3$ ，求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、当 $a = 1$ 时，若函数 $f (x)$ 的值域和函数 $f (f (x))$ 的值域相同，求 $b$ 的取值范围；

(3)、当 $2 < b < 8$ 时，记 $M (a, b)$ 为 $|g (x)|$ 在 $[1, 2]$ 上的最大值，求 $M (a, b)$ 的最小值.

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