湖北省武汉市2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-09-05 类型：中考真卷

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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．

1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性。下列汉字是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（）

A、随机事件 B、不可能事件 C、必然事件 D、确定性事件

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3. 如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近300000亿元，同比增长5.3％，国家高质量发展取得新成效。将数据300000用科学记数法表示是（）

A、 $0.3 \times 1 0^{5}$ B、 $0.3 \times 1 0^{6}$ C、 $3 \times 1 0^{5}$ D、 $3 \times 1 0^{6}$

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 $(a^{3})^{4} = a^{12}$ C、 $(3 a)^{2} = 6 a^{2}$ D、 $(a + 1)^{2} = a^{2} + 1$

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6. 如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水。下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 小美同学按如下步骤作四边形 $A B C D$ ：（1）画 $∠ M A N$ ；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交 $A M$ ， $A N$ 于点B ， D；（3）分别以点B ， D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接 $B C$ ， $C D$ ， $B D$ ．若 $∠ A = 44 °$ ，则 $∠ C B D$ 的大小是（）

A、 $64 °$ B、 $66 °$ C、 $68 °$ D、 $70 °$

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8. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{5}{9}$

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9. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $∠ B A C = ∠ C A D = 45 °$ ， $A B + A D = 2$ ，则 $⊙ O$ 的半径是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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10. 如图，小好同学用计算机软件绘制函数 $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ 的图象，发现它关于点 $(1, 0)$ 中心对称。若点 $A_{1} (0.1, y_{1})$ ， $A_{2} (0.2, y_{2})$ ， $A_{3} (0.3, y_{3})$ ， ……， $A_{19} (1.9, y_{19})$ ， $A_{20} (2, y_{20})$ 都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则 $y_{1} + y_{2} + y_{3} + ⋯ ⋯ + y_{19} + y_{20}$ 的值是（）

A、 $- 1$ B、 $- 0.729$ C、0 D、1

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二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置。

11. 中国是世界上最早使用负数的国家。负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3 $℃$ 记作 $+ 3 ℃$ ，则零下2 $℃$ 记作 $℃$ ．

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12. 某反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 具有下列性质：当 $x > 0$ 时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是．

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13. 分式方程 $\frac{x}{x - 3} = \frac{x + 1}{x - 1}$ 的解是．

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14. 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉。在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼 $A B$ 的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为 $45 °$ ，底端B的俯角为 $63 °$ ，则测得黄鹤楼的高度是m．（参考数据： $t a n 63 ° \approx 2$ ）

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15. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形 $M N P Q$ 拼成的一个大正方形 $A B C D$ ．直线 $M P$ 交正方形 $A B C D$ 的两边于点E ， F ，记正方形 $A B C D$ 的面积为 $S_{1}$ ，正方形 $M N P Q$ 的面积为 $S_{2}$ ．若 $B E = k A E (k > 1)$ ，则用含k的式子表示 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值是．

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16. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a ， b ， c是常数， $a < 0$ ）经过 $(- 1, 1)$ ， $(m, 1)$ 两点，且 $0 < m < 1$ ．下列四个结论：
① $b > 0$ ；
②若 $0 < x < 1$ ，则 $a (x - 1)^{2} + b (x - 1) + c > 1$ ；
③若 $a = - 1$ ，则关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 2$ 无实数解；
④点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 在抛物线上，若 $x_{1} + x_{2} > - \frac{1}{2}$ ， $x_{1} > x_{2}$ ，总有 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $0 < m \leq \frac{1}{2}$ ．
其中正确的是（填写序号）．

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三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．

17. 求不等式组 ${\begin{cases} x + 3 > 1 ① \\ 2 x - 1 \leq x ② \end{cases}$ 的整数解．

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18. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E ， F分别在边 $B C$ ， $A D$ 上， $A F = C E$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ C D F$ ；

(2)、连接 $E F$ ．请添加一个与线段相关的条件，使四边形 $A B E F$ 是平行四边形．（不需要说明理由）

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19. 为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表。
测试成绩频数分布表
成绩/分
频数
4
12
3
a
2
15
1
b
0
6
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、直接写出m ， n的值和样本的众数；

(2)、若该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数．

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20. 如图， $△ A B C$ 为等腰三角形， $O$ 是底边 $B C$ 的中点，腰 $A C$ 与半圆 $O$ 相切于点 $D$ ，底边 $B C$ 与半圆 $O$ 交于 $E$ ， $F$ 两点．

(1)、求证： $A B$ 与半圆 $O$ 相切；

(2)、连接 $O A$ ．若 $C D = 4$ ， $C F = 2$ ，求 $sin ∠ O A C$ 的值．

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21. 如图是由小正方形组成的 $3 \times 4$ 网格，每个小正方形的顶点叫做格点． $△ A B C$ 三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．

(1)、在图（1）中，画射线 $A D$ 交 $B C$ 于点D ，使 $A D$ 平分 $△ A B C$ 的面积；

(2)、在（1）的基础上，在射线 $A D$ 上画点E ，使 $∠ E C B = ∠ A C B$ ；

(3)、在图（2）中，先画点F ，使点A绕点F顺时针旋转 $90 °$ 到点C ，再画射线 $A F$ 交 $B C$ 于点G；

(4)、在（3）的基础上，将线段 $A B$ 绕点G旋转 $180 °$ ，画对应线段 $M N$ （点A与点M对应，点B与点N对应）．

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22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖。火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行。
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程。如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 $y = a x^{2} + x$ 和直线 $y = - \frac{1}{2} x + b$ ．其中，当火箭运行的水平距离为9 $k m$ 时，自动引发火箭的第二级．

(1)、若火箭第二级的引发点的高度为3.6 $k m$ ．
①直接写出a ， b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35 $k m$ ，求这两个位置之间的距离．

(2)、直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15 $k m$ ．

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23.

(1)、问题背景如图（1），在矩形 $A B C D$ 中，点E ， F分别是 $A B$ ， $B C$ 的中点，连接 $B D$ ， $E F$ ，求证： $△ B C D ∽ △ F B E$ ．

(2)、问题探究如图（2），在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B C D = 90 °$ ，点E是 $A B$ 的中点，点F在边 $B C$ 上， $A D = 2 C F$ ， $E F$ 与 $B D$ 交于点G ，求证： $B G = F G$ ．

(3)、问题拓展如图（3），在“问题探究”的条件下，连接 $A G$ ， $A D = C D$ ， $A G = F G$ ，直接写出 $\frac{E G}{G F}$ 的值．

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24. 抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - \frac{5}{2}$ 交x轴于A ， B两点（A在B的右边），交y轴于点C ．

(1)、直接写出点A ， B ， C的坐标；

(2)、如图（1），连接 $A C$ ， $B C$ ，过第三象限的抛物线上的点P作直线 $P Q ∥ A C$ ，交y轴于点Q ．若 $B C$ 平分线段 $P Q$ ，求点P的坐标；

(3)、如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线 $E F$ 交抛物线于E ， F两点（点E在x轴下方），线段 $D E$ 交抛物线于另一点G ，连接 $F G$ ．若 $∠ E G F = 90 °$ ，求直线 $D E$ 的解析式．

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成绩/分	频数
4	12
3	a
2	15
1	b
0	6