四川省宜宾市2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-09-05 类型：中考真卷

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一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1. 2的绝对值是（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $a + a = a^{2}$ B、 $5 a - 3 a = 2$ C、 $3 x \cdot 2 x = 6 x^{2}$ D、 $(- x)^{3} \div (- x)^{2} = x$

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3. 某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．对这组数据判断正确的是（）

A、方差为0 B、众数为75 C、中位数为77.5 D、平均数为75

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4. 如图，AB是⊙O的直径，若 $∠ C D B = 60 °$ ，则 $∠ A B C$ 的度数等于（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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5. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（）

A、5天 B、10天 C、15天 D、20天

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6. 如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且 $6 = 1 + 2 + 3$ ，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（）

A、8 B、18 C、28 D、32

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7. 如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（）

A、B点 B、C点 C、D点 D、E点

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8. 某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（）

A、8箱 B、9箱 C、10箱 D、11箱

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9. 如图， $△ A B C$ 内接于⊙O ， BC为⊙O的直径，AD平分 $∠ B A C$ 交⊙O于D ．则 $\frac{A B + A C}{A D}$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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10. 如图，等腰三角形ABC中， $A B = A C$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过点A、B及AC的中点M ， $B C ∥ x$ 轴，AB与y轴交于点N ．则 $\frac{A N}{A B}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 3 \sqrt{2}, A C = 2$ ，以BC为边作 $R t △ B C D$ ， $B C = B D$ ，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（）

A、 $2 + 3 \sqrt{2}$ B、 $6 + 2 \sqrt{2}$ C、5 D、8

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12. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 的图象交x轴于点 $A (- 3, 0)$ 、 $B (1, 0)$ ，交y轴于点C ．以下结论：① $a + b + c = 0$ ；② $a + 3 b + 2 c < 0$ ；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时， $c = \sqrt{7}$ ；④当 $c = 3$ 时，在 $△ A O C$ 内有一动点P ，若 $O P = 2$ ，则 $C P + \frac{2}{3} A P$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{97}}{3}$ ．其中正确结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．

13. 分解因式： $2 a^{2} - 2 =$ ．

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14. 分式方程 $\frac{x + 1}{x - 1} - 3 = 0$ 的解为．

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15. 如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是．

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16. 如图，在平行四边形ABCD中， $A B = 2, A D = 4$ ， E、F分别是边CD、AD上的动点，且 $C E = D F$ ．当 $A E + C F$ 的值最小时，则 $C E =$ ．

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17. 如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是（从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）．

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18. 如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC、CD上的动点．若 $∠ M A N = 45 °$ ，则MN的最小值为．

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三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19.

(1)、计算： ${(- 2)}^{0} + 2 s i n 30 ° - | 2 - \sqrt{3} |$ ；

(2)、计算： $\frac{2}{a^{2} - 1} \div (\frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a + 1})$ ．

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20. 某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组：B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．
请结合图中信息解答下列问题：

(1)、本次共调查了名学生，并将条形统计图补充完整；

(2)、话剧组所对应扇形的圆心角为度；

(3)、书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．

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21. 如图，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且 $B D = C E$ ， BE与AD交于点F ．
求证： $A D = B E$ ．

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22. 宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D ，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且 $A B ∥ C D$ ）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西 $18.17 °$ 方向上，测得点D在北偏东 $21.34 °$ 方向上；在B处测得点C在北偏西 $21.34 °$ 方向上，测得点D在北偏东 $18.17 °$ 方向上，测得 $A B = 100$ 米．求长江口的宽度CD的值（结果精确到1米）．（参考数据： $s i n 18.17 ° \approx 0.31$ ， $c o s 18.17 ° \approx 0.95$ ， $t a n 18.17 ° \approx 0.33$ ， $s i n 21.34 ° \approx 0.36$ ， $c o s 21.34 ° \approx 0.93$ ， $t a n 21.34 ° \approx 0.39$ ）

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23. 如图，一次函数． $y = a x + b (a \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于点 $A (1, 4) 、 B (n, - 1)$ ．

(1)、求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)、利用图象，直接写出不等式 $a x + b < \frac{k}{x}$ 的解集；

(3)、已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．

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24. 如图， $△ A B C$ 内接于⊙O ， $A B = A C = 10$ ，过点A作 $A E ∥ B C$ ，交⊙O的直径BD的延长线于点E ，连结CD ．

(1)、求证：AE是⊙O的切线；

(2)、若 $t a n ∠ A B E = \frac{1}{2}$ ，求CD和DE的长．

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25. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点 $A (- 1, 0)$ 和点B ，与y轴交于点 $C (0, - 4)$ ，其顶点为D ．

(1)、求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

(2)、在y轴上是否存在一点M ，使得 $△ B D M$ 的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、若点E在以点 $P (3, 0)$ 为圆心，1为半径的⊙P上，连结AE ，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF ，连结BF ．求BF的取值范围．

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