浙江省台州市六校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-05-09 类型：期中考试

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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分）

1. 设函数 $f (x) = a x + 1$ ，若 $f^{'} (1) = 2$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、3 D、 $- 3$

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2. 已知随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = k) = \frac{1}{2^{k}}, k = 1, 2, 3, \dots$ ，则 $P (1 < X \leq 3) =$ （）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{3}{32}$ C、 $\frac{5}{42}$ D、 $\frac{3}{8}$

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3. 若函数 $y = f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的导数等于 $a$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + 2 Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}$ 的值为（）

A、 $a$ B、 $2 a$ C、 $3 a$ D、 $\frac{1}{2} a$

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4. 2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数 $p$ 使得 $p + 2$ 是素数，素数对 $(p, p + 2)$ 称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（）

A、 $\frac{1}{14}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、 $\frac{3}{14}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5. $(2 - \frac{3}{x^{2}}) {(1 + x)}^{5}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、17 B、20 C、75 D、100

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6. 函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（）

A、 $f^{'} (1) < f^{'} (2) < f (2) - f (1) < 0$ B、 $f^{'} (2) < f (2) - f (1) < f^{'} (1) < 0$ C、 $f^{'} (1) < f (2) - f (1) < f^{'} (2) < 0$ D、 $f (2) - f (1) < f^{'} (1) < f^{'} (2) < 0$

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7. 已知 $P (A) = 0.6$ ， $P (A B) = 0.3$ ， $P (B | \bar{A}) = 0.5$ ，下列选项正确的是（　　）

A、 $P (B) = 0.4$ B、 $P (A | B) = 0.6$ C、 $P (\bar{A} | B) = 0.5$ D、 $P (A B) \neq P (A) P (B)$

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8. 把函数 $f (x) = x^{3} - 3 x$ 的图像 $C_{1}$ 向右平移 $u$ 个单位长度，再向下平移 $v$ 个单位长度后得到图像 $C_{2}$ ．若对任意的 $u > 0$ ，曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 至多只有一个交点，则 $v$ 的最小值为

A、 $2$ B、 $4$ C、 $6$ D、 $8$

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二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）

9. 设离散型随机变量 $X$ 的分布列为
$X$
0
1
2
3
4
$P$
$q$
0.2
0.1
0.4
0.1
若离散型随机变量 $Y$ 满足 $Y = 2 X + 1$ ，则下列结果正确的有（）

A、 $E (X) = 2$ B、 $D (X) = 1.8$ C、 $E (Y) = 5$ D、 $D (Y) = 14$

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10. 已知 ${(2 x - 1)}^{7} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + \dots + a_{6} {(x - 1)}^{6} + a_{7} {(x - 1)}^{7}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{7} = 3^{7} - 1$ C、 $a_{5} = - 672$ D、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \dots + \frac{a_{7}}{2^{7}} = 127$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 1}{e^{x}}$ ，其中 $x \in R$ ，则（）．

A、不等式 $f (x) \geq - e^{2}$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立 B、若直线 $y = k$ 与函数 $f (x)$ 的图象有且只有两个不同的公共点，则k的取值范围是 $(- e^{2}, 0]$ C、方程 $f (f (x)) = 0$ 恰有3个实根 D、若关于x的不等式 $f (x) < a x$ 恰有1个负整数解，则a的取值范围为 $[e, \frac{e^{2}}{2})$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 方程 $C_{15}^{x^{2} + 2 x} = C_{15}^{4 x - 1}$ 的解是.

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13. 过原点的直线 $l$ 与 $y = e^{x}$ 相切，则切点的坐标是.

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14. 若函数 $f (x) = x - \frac{1}{3} \sin 2 x + a \sin x$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 单调递增，则 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题（本题共5小题；共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

15. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - a x^{2} + 12 x + b$ 在 $x = 1$ 处取得极大值6.

(1)、求实数 $a, b$ 的值；

(2)、当 $x \in [0, 3]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值.

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16. 在 ${(\sqrt{x} + \frac{2}{x^{2}})}^{8}$ 的展开式中，

(1)、求二项式系数最大的项；

(2)、若第 $k + 1$ 项是有理项，求 $k$ 的取值集合；

(3)、系数最大的项是第几项.

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17. 某班共有团员12人，其中男团员8人，女团员4人，并且男､女团员各有一名组长，现从中选5人参加学校的团员座谈会.（用数字做答）

(1)、若至少有1名组长当选，求不同的选法总数；

(2)、若至多有2名女团员当选，求不同的选法总数；

(3)、若既要有组长当选，又要有女团员当选，求不同的选法总数.

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18. 有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同.

(1)、如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用 $X$ 表示这3个球的得分之和，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(2)、先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球.若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率.

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19. 已知函数 $f (x) = a ln x - \frac{x - 1}{x + 1}, a \in R$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ .
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii）证明： $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > \frac{a - 2 a^{2}}{a - 1}$

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$X$	0	1	2	3	4
$P$	$q$	0.2	0.1	0.4	0.1