北京市第五十四中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-03-02 类型：期中考试

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一、选择题（3分*10=30分）

1. 若集合 $A = \{x | - 1 \leq x < 2\}, B = \{x | x \geq 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、(1，2) B、[1，2) C、[－1，1] D、[－1，2)

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2. 下列函数是偶函数的是（　　）

A、 $y = x$ B、 $y = 2 x^{2} - 3$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = x^{2}, x \in [0, 1]$

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3. 下列各式正确的是（）

A、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ B、 $\sqrt[4]{x^{4}} = x$ C、 $\sqrt{2^{2}} = 2$ D、 $a^{0} = 1$

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4. 下列四个函数中，与 $y = x$ 表示同一函数的是（）

A、 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $y = \sqrt{x^{2}}$ C、 $y = \sqrt[3]{x^{3}}$ D、 $y = \frac{x^{2}}{x}$

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5. 命题“存在 $x \in R, x^{2} - 3 x + 4 > 0$ ”的否定是（）

A、存在 $x \in R, x^{2} - 3 x + 4 < 0$ B、任意的 $x \in R, x^{2} - 3 x + 4 > 0$ C、任意的 $x \in R, x^{2} - 3 x + 4 \geq 0$ D、任意的 $x \in R, x^{2} - 3 x + 4 \leq 0$

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6. $a, b, c \in R$ ，则正确的是（）

A、 $a > b$ $\Rightarrow$ $a - c > b - c$ B、 $a > b$ $\Rightarrow$ $a c > b c$ C、 $a > b$ $\Rightarrow$ $|a| > |b|$ D、 $a > b$ $\Rightarrow$ $\sqrt{a} > \sqrt{b}$

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7. “ $a > b$ ” 是 $a^{2} > b^{2}$ 的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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8. 下列函数中定义域为 $R$ ， $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时，都有 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ 的是（）

A、 $f (x) = 3^{x}$ B、 $f (x) = \sqrt{x}$ C、 $f (x) = |x|$ D、 $f (x) = x^{2}$

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9. 设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则f（﹣2），f（3），f（﹣π）的大小顺序是（）

A、f（3）＞f（﹣2）＞f（﹣π） B、f（﹣π）＞f（﹣2）＞f（3） C、f（﹣2）＞f（3）＞f（﹣π） D、f（﹣π）＞f（3）＞f（﹣2）

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10. 对于每个实数x，若函数 $f (x)$ 取三个函数 $y = 4 x + 1, y = x + 2, y = - 2 x + 4$ 的最小值，则函数 $f (x)$ 的最大值是（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{10}{3}$ D、4

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二、填空题：（4分*6=24分）

11. 已知幂函数 $y = x^{α}$ 的图像过点 $(2, \sqrt{2})$ ，函数的解析式为.

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12. 已知 $x > 0$ ，则 $x + \frac{9}{x}$ 在 $x =$ 时，取得最小值为．

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13. 函数 $y = \frac{\sqrt{16 - x^{2}}}{x}$ 的定义域是

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14. 函数 $f (x) = - x^{2} + 6 x - 10$ 在区间[0，4]的最大值是

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15. 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.写出飞机票的价格y(单位：元)关于人数x(单位：人)的函数关系式；

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16. 下列命题：
①定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 必满足 $f (0) = 0$ ；
② $f (x) = {(2 x + 1)}^{2} - 2 (2 x - 1)$ 既不是奇函数又不是偶函数；
③偶函数的图象一定与 $y$ 轴相交；
④函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上是减函数.其中真命题有．
（把你认为正确的命题的序号都填在横线上）.

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三、解答题：（共6小题，共46分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

17. 计算：

(1)、 $2 \log_{3} 2 - \log_{3} 32 + \log_{3} 8$ ；

(2)、 ${(2 \frac{3}{4})}^{0} + 2^{- 2} \cdot {(2 \frac{1}{4})}^{- \frac{1}{2}} - {(0.01)}^{0.5}$ .

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18. 解下列不等式：

(1)、 $x^{2} - 2 x - 3 < 0$

(2)、 $- x^{2} + 4 x - 4 < 0$

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19. 已知集合 $A = \{x |3 x - 6 < 0\}$ ， B = {x | x² – 5x < 0}， $C = \{x |x < a\}$ ，全集 $U =$ R，求：

(1)、 $A \cap B$ ；

(2)、 $∁_{R} A \cup B$ .

(3)、如果 $B ∩ C \neq \emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + 1$ ．

（1）用分段函数的形式表示该函数；
（2）画出该函数的图象；
（3）写出该函数的值域．

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21. 已知函数 $f (x) = a x + \frac{4}{x}$ ，且 $f (1) = 5$ ．

(1)、求实数a的值；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(3)、判断函数 $f (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 上的单调性，并利用单调性定义加以证明.

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22. 已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；
（3）在区间[﹣1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．

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