人教版九年级上学期数学第二十三章质量检测（高阶）-在线组卷题库

1. 如图，将含有 $30 °$ 角的直角三角板 $O A B$ 放置在平面直角坐标系中， $O B$ 在x轴上，若 $A B = 2 \sqrt{3}$ ，将三角板绕原点O顺时针旋转 $90 °$ ，则点A的对应点 $A^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(3 ， 6)$ B、 $(3 ， - 6)$ C、 $(3 ， 3 \sqrt{3})$ D、 $(3 ， - 3 \sqrt{3})$

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2. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 12$ ， $A D = 10$ ， $∠ A = 60 °$ ， $E$ 是边 $A D$ 上一点，且 $A E = 6$ ， $F$ 是边 $A B$ 上的一个动点，将线段 $E F$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $60 °$ ，得到 $E N$ ，连接 $B N$ 、 $C N$ ，则 $B N + C N$ 的最小值是（）

A、 $3 \sqrt{21}$ B、 $4 \sqrt{14}$ C、14 D、 $4 \sqrt{13}$

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3. 如图，边长为12的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB ，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN ，连结HN ．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）

A、6 B、3 C、2 D、1.5

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4. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为（-6，4）；Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝4 $\sqrt{3}$ ， ∠D＝30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是（）

A、3 B、6 $\sqrt{2}$ -4 C、2 $\sqrt{13}$ -2 D、2

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5. 如图，已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一段抛物线 $y = - x^{2} + 6 x (0 \leq x \leq 6)$ ，记为抛物线 $C_{1}$ ，它与 $x$ 轴交于点 $O$ ， $A_{1}$ ；将抛物线 $C_{1}$ 绕点 $A_{1}$ 旋转 $180 °$ 得抛物线 $C_{2}$ ，交 $x$ 轴于点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ；将抛物线 $C_{2}$ 绕点 $A_{2}$ ，旋转 $180 °$ 得抛物线 $C_{3}$ ，交 $x$ 轴于点 $A_{2}$ ， $A_{3}$ ；……如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点 $M (2023 ， m)$ 在此“波浪线”上，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 9$ B、 $- 5$ C、9 D、5

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6. 如图，已知△ABC ， ∠ABC＜60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE ， DE与BC交于点P ．下列结论：
①∠EPC＝60°；
②AC与DE互相平分；
③PA+PC＝PE；
④PA平分∠BPE ，其中正确结论的是．

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7. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4 \sqrt{2}$ ， O是 $B C$ 边的中点，点E是正方形内一动点， $O E = 2$ ，连接 $D E$ ，将线段 $D E$ 绕点D逆时针旋转 $90 °$ 得 $D F$ ，连接 $A E 、 C F$ ，则线段 $O F$ 长的最小值为．

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8. 如图，“心”形是由抛物线 $y = - x^{2} + 6$ 和它绕着原点O ，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D ，点A ， B是两条抛物线的两个交点，点E ， F ， G是抛物线与坐标轴的交点，则AB= ．

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9. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．

(1)、请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A₁B₁C₁；

(2)、请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A₂B₂C₂；

(3)、在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $∠ A D B = 30 °$ ， $A E ⊥ B D$ ，垂足为E ． F是点E关于 $A B$ 的对称点，连接 $A F ， B F$ ．

(1)、求证： $△ A B E$ $≌ △ A B F$ ；

(2)、求 $A E$ 和 $B E$ 的长；

(3)、将一个与 $△ A B F$ 完全重合的透明三角板 $A_{1} B_{1} F_{1}$ 沿射线 $B D$ 方向平移．
①设点 $B_{1}$ 在 $B D$ 上移动的距离是m ．当点 $F_{1}$ 分别落在线段 $A B ， A D$ 上时，求相应的m的值；
②当点 $F_{1}$ 落在 $A D$ 上时，立刻将 $△ A_{1} B_{1} F_{1}$ 绕点 $B_{1}$ 顺时针旋转，且旋转60°时停止．点H在 $A D$ 上，且 $D H = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ．若 $△ A_{1} B_{1} F_{1}$ 平移的速度为每秒1个单位长度， $△ A_{1} B_{1} F_{1}$ 绕点 $B_{1}$ 旋转的速度为每秒5°，在 $△ A_{1} B_{1} F_{1}$ 整个运动过程中，直接写出点H在 $△ A_{1} B_{1} F_{1}$ 区域（含边界）内的时长．

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11. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）与 $x$ 轴交于点 $A (1 ， 0)$ 和点 $B (- 3 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $O C = O B$ ．

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、若点 $E$ 为第二象限抛物线上一动点，连接 $B E$ ， $C E$ ，求四边形 $B O C E$ 面积的最大值，并求出此时点 $E$ 的坐标；

(3)、点 $P$ 在抛物线的对称轴上，若线段 $P A$ 绕点 $P$ 逆时针旋转90°后，点 $A$ 的对应点 $A^{'}$ 恰好也落在此抛物线上，求点 $P$ 的坐标．

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12. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，将 $R t △ A B C$ 绕点A逆时针旋转得到 $R t △ A B^{'} C^{'}$ ， $A B$ 与 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 交于点D ， $A C^{'}$ 与 $B C$ 交于点E ， $B C$ 与 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 交于点F ，当B、D、F重合时停止旋转．

(1)、证明：在旋转过程中 $∠ B F D = ∠ C^{'} A C$ ；

(2)、如图1，当 $A B$ 平分 $∠ B^{'} A C^{'}$ 时，证明： $A E + B D = A B^{'}$ ；

(3)、如图2，若 $B C = 5$ ， $A C = 4$ ，在旋转过程中，当 $△ A B E$ 是等腰三角形时，求该等腰三角形底边的长度．

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13. 问题解决
一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P是等边 $△ A B C$ 内的一点， $P A = 6$ ， $P B = 8$ ， $P C = 10$ .你能求出 $∠ A P B$ 的度数和等边 $△ A B C$ 的面积吗?小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
如图①将 $△ B P C$ 绕点B逆时针旋转 $60 °$ ，得到 $△ B P^{'} A$ ，连接 $P P^{'}$ ，可得 $△ B P P^{'}$ 是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得 $△ A P^{'} P$ 是直角三角形，从而使问题得到解决.

(1)、结合小明的思路完成填空： $P P^{'} =$ ， $∠ A P P^{'} =$ ， $∠ A P B =$ ， $S_{△ A B C} =$ .

(2)、类比探究
①.如图②，若点P是正方形 $A B C D$ 内一点， $P A = 1$ ， $P B = 2$ ， $P C = 3$ ，求 $∠ A P B$ 的度数和正方形的面积.
②.如图③，若点P是正方形 $A B C D$ 外一点， $P A = 3$ ， $P B = 1$ ， $P C = \sqrt{11}$ ，求 $∠ A P B$ 的度数和正方形的面积.

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人教版九年级上学期数学第二十三章质量检测（高阶）

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、作图题（共2题，共18分）

四、解答题（共5题，共45分）

五、实践探究题（共12分）