广东省深圳市宝安区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2024-09-02 类型：期中考试

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一、选择题（每题 3 分, 共 30 分

1. $0.09$ 的算术平方根等于（）．

A、 $0.3$ B、 $\pm 0.3$ C、 $0.03$ D、 $\pm 0.03$

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2. 下列实数是无理数的是 ( )

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\sqrt[3]{- 8}$ C、0.4040404 .(每相邻两个 4 之间一个 0 ) D、 $- \frac{π}{2}$

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3. 已知点 $A (2, 1)$ ，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $C$ ，则点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(2, 0)$ D、 $(0, 2)$

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4. 下面各组数中，不能构成直角三角形的一组是（）

A、 $6,8, 10$ B、 $9,40,41$ C、 $5,7, 10$ D、 $1,2, \sqrt{3}$

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5. 估算 $\sqrt{13} - 1$ 的值在 ( )

A、1 和 2 之间 B、2 和 3 之间 C、3 和 4 之间 D、4 和 5 之间

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6. 如图，在数轴上点 $A$ 表示的数为 2 ，在点 $A$ 的右侧作一个长为 2 ，宽为 1 的长方形 $A B C D$ ，将对角线 $A C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点处 $E$ ，则点 $E$ 表示的数是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $- \sqrt{5}$ C、 $2 - \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{5} - 2$

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7. 若直线 $y = k x + b$ 经过第一、二、四象限，则函数 $y = b x - k$ 的大致图象是（　　）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是 20 cm ，宽都是 50 cm ，长都是 40 cm ，一只蚂蚁沿台阶从点 $A$ 出发到点 $B$ ，其爬行的最短线路的长度是（） cm

A、100 B、120 C、130 D、150

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9. 在 Rt $△ A B C$ 中， $∠ B = 90^{\circ}$ ，在线段 $B C$ 上有一点 $D$ ，使 $3 B D = 2 C D$ ，已知 $A C = 17, A D = 10$ ，则线段 $A B$ 的长为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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10. 如图，在直角坐标系中，等腰 Rt $△ A B O$ 的 $O$ 点是坐标原点， $A$ 的坐标是 $(- 8,0)$ ，直角顶点 $B$ 在第二象限，等腰 Rt $△ B C D$ 的 $C$ 点在 $y$ 轴上移动，我们发现直角顶点 $D$ 点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是（）

A、 $y = - 2 x + 2$ B、 $y = - \frac{1}{2} x + 4$ C、 $y = - 3 x - 4$ D、 $y = - x + 4$

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二、填空题（每题 3 分，共 15 分）

11. 在平面直角坐标系中，点 $P (2 ， 3)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标是.

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12. 已知 ${\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$ 是方程组 ${\begin{cases} a x + y = - 1 \\ 2 x - b y = 0 \end{cases}$ 的解，则a+b＝．

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13. 实数 $a$ 在数轴上的位置如图所示，则化简 $\sqrt{(a - 4)^{2}} + \sqrt{(a - 11)^{2}}$ 结果为。

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14. 甲、乙两人分别从 $A 、 B$ 两地同时出发，相向而行，匀速前往 $B$ 地、 $A$ 地，两人相遇时停留了 4 min ，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离 $y (m)$ 与甲所用时间 $x (m i n)$ 之间的函数关系如图所示，则 $b$ 的值为。

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}, A C = 3$ ， $B C = 4, P$ 为斜边 $A B$ 上的一动点（不包含 $A$ ， $B$ 两端点），以 $C P$ 为对称轴将 $△ A C P$ 翻折得到 $△ A^{^{'}} C P$ ，连结 $B A^{^{'}}$ . 当 $A^{^{'}} P ⊥ A B$ 时， $B A^{^{'}}$ 的长为.

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三、解答题（共 7 小题 55 分）

16. 计算

(1)、 $\frac{1}{2} \sqrt{20} - \sqrt{45} + 5 \sqrt{\frac{1}{5}}$ ；

(2)、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} + \frac{\sqrt{48} - \sqrt{12}}{\sqrt{2}}$ ．

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17. 解方程组： $\{\begin{array}{l} x + 3 y = 14 \\ \frac{x - 2}{3} - \frac{y - 2}{2} = 1 \end{array}$

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18. 如图， $△ A B C$ 在正方形网格中 (图中每个小正方形的边长均为 1 个单位长度)，若点 $A$ 的坐标为 ( 0 ， 3 )，点 $B$ 的坐标为 $(- 2, - 1)$ ，按要求解下列问题：

(1)、在图中建立正确的平面直角坐标系；

(2)、根据所建立的坐标系，画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(3)、 $△ A B C$ 的面积为.

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19. 某服装店用 6000 元购进 $A, B$ 两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润 $=$ 售价 - 进价），这两种服装的进价、标价如表所示：

$A$ 种
$B$ 种
进价（元/件）
60
100
标价（元/件）
100
160

(1)、这两种服装各购进的件数；

(2)、如果 $A$ 中服装按标价的 7 折出售， $B$ 种服装按标价的 8 折出售，那么这批服装全部售完后，求服装店的利润.

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20. 如图，一根直立的旗杆高 $8 m$ ，因刮大风旗杆从点 $C$ 处折断，顶部 $B$ 着地且离旗杆底部 $A$ 的距离为 $4 m$ .

(1)、求旗杆距地面多高处折断（ $A C$ ）；

(2)、（4 分）工人在修复的过程中，发现在折断点 $C$ 的下方 $1 m$ 的点 $D$ 处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点 $D$ 处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险?

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21. 小明根据学习一次函数的经验，对函数 $y = | x + 1 | + k$ 的图象与性质进行了探究. 小明的探究过程如下：
列表：

$x$

$\dots$
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4

$\dots$

$y$

$\dots$
4
3
2
1
2
3
4
5

$m$

$\dots$

(1)、求 $m$ 和 $k$ 的值；

(2)、以自变量 $x$ 的值为横坐标，相应的函数值 $y$ 为纵坐标，建立平面直角坐标系，请描出表格中的点，并连线；

(3)、根据表格及函数图象，探究函数性质：
①该函数的最小值为。
②当 $x > - 1$ 时，函数值 $y$ 随自变量 $x$ 的增大而 (填"增大"或"减小")；
③若关于 $x$ 的方程 $| x + 1 | = b - 1$ 有两个不同的解，则 $b$ 的取值范围为.

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22. 学完勾股定理的证明后发现运用"同一图形的面积不同表示方式相同"可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法.

(1)、【学有所用】如图 1，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，其一腰上的高 $B D$ 为 $ℎ, M$ 是底边 $B C$ 上的任意一点， $M$ 到腰 $A B 、 A C$ 的距离 $M E 、 M F$ 分别为 $ℎ_{1} 、 ℎ_{2}$ ，小明发现，通过连接 $A M$ ，将 $△ A B C$ 的面积转化为 $△ A B M$ 和 $△ A C M$ 的面积之和，建立等量关系，便可证明 $ℎ_{1} + ℎ_{2} = ℎ$ ，请你结合图形来证明： $ℎ_{1} + ℎ_{2} = ℎ$ ；

(2)、【尝试提升】如图 2，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90^{\circ}, D$ 是 $A B$ 边上一点，使 $B D = C D$ ，过 $B C$ 上一点 $P$ ，作 $P E ⊥ A B$ ，垂足为点 $E$ ，作 $P F ⊥ C D$ ，垂足为点 $F$ ，已知 $A B = 6 \sqrt{2}, B C = 6 \sqrt{3}$ ，求 $P E + P F$ 的长.

(3)、【拓展迁移】如图 3，在平面直角坐标系中有两条直线 $l_{1} : y = - \frac{5}{12} x - 5$ ， $l_{2} : y = 5 x - 5$ ，若 $l_{2}$ 上的一点 $M$ 到 $l_{1}$ 的距离是 2 ，求 $\frac{B M}{C M}$ 的值.

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	$A$ 种	$B$ 种
进价（元/件）	60	100
标价（元/件）	100	160

$x$	$\dots$	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	$\dots$
$y$	$\dots$	4	3	2	1	2	3	4	5	$m$	$\dots$