广东省清远市2023-2024学年九年级上学期1月期末数学试题2

试卷更新日期：2024-09-02 类型：期末考试

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一、选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 3 分, 共 30 分. 在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1. 日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由"晷面"和"晷针"组成. 当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面. 随着时间的推移，晷针的影子在原面上慢慢地移动，以此来显示时刻。则晷针在晷面上形成的投影是（）

A、中心投影 B、平行投影 C、既是平行投影又是中心投影 D、不能确定

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2. 一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 五张完全相同的卡片上，分别写有数字1，2，3，4，5，现从中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字大于3的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 若线段 $a, b, c, d$ 成比例，其中 $a = 3 c m, b = 6 c m, c = 2 c m$ ，则 $d$ 值为 ( )

A、1 cm B、2 cm C、3 cm D、4 cm

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5. 方程 $x^{2} - 9 = 0$ 的解是（）

A、 $x_{1} = x_{2} = 3$ B、 $x_{1} = x_{2} = - 3$ C、 $x_{1} = 3, x_{2} = - 3$ D、 $x = - 3$

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6. 木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（）

A、测量两组对边是否相等 B、测量一组邻边是否相等 C、测量对角线是否相等 D、测量对角线是否互相垂直

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7. 林业局为考察一种树苗移植的成活率，展开了大量调查，并将调查数据绘制成如图所示的统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率为（）

A、 $0.95$ B、 $0.90$ C、 $0.85$ D、 $0.80$

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8. 已知点 $M (1, - 1)$ ，则下列各点与该点在同一反比例函数图象上的是 ( )

A、 $(1,1)$ B、 $(- 1, - 1)$ C、 $(- 1,1)$ D、 $(- 2, - 2)$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $A C$ 上一点，下列给出的条件不能得出 $△ A B D \sim △ A C B$ 的是 ( )

A、 $\frac{A D}{A B} = \frac{B D}{B C}$ B、 $∠ A B D = ∠ A C B$ C、 $A B^{2} = A D \cdot A C$ D、 $∠ A D B = ∠ A B C$

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10. 如图，矩形 $O A B C$ 的顶点 $B$ 和正方形 $A D E F$ 的顶点 $E$ 都在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，点 $B$ 的坐标为 $(3,6)$ ，则点 $E$ 的坐标为（）

A、 $(4, \frac{9}{2})$ B、 $(6,3)$ C、 $(8, \frac{9}{4})$ D、 $(9,2)$

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二、填空题: 本大题共 5 小题, 每小题 3 分, 共 15 分.

11. 若一元二次方程 $x^{2} + 2 x + m = 0$ 无实数根，则 $m$ 的取值范围是.

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12. 如果两个相似三角形的周长比为 $1 : 3$ ，那么这两个三角形的面积比为：.

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13. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ .已知 $A B = 5 c m, A O = 4 c m$ ，则 $B D =$ cm .

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14. 用表格表示反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 如下，则 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系为： $y_{1}$ y₂

$x$

$\dots$
-4
-1
2
4

$\dots$

$y$

$\dots$

$y_{1}$
4

$y_{2}$
-1

$\dots$

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3, A D = 4, P$ 是 $A D$ 上不与 $A$ 和 $D$ 重合的一个动点，过点 $P$ 分别作 $A C$ 和 $B D$ 的垂线，垂足为 $E, F$ .则 $P E + P F$ 的值为.

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三、解答题（一）：本大题共 3 小题，第 16 题 10 分、第 17 题 6 分，第 18 题 8 分，共 24 分.

16. 解方程：

(1)、 $x^{2} = 2 x$

(2)、 $x (x - 4) = x - 4$ ；

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17. 如图， $A B$ 表示一个窗户的高， $A M$ 和 $B N$ 表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离 $B C = 1 m$ ．已知某一时刻 $B C$ 在地面的影长 $C N = 1.5 m$ ， $A C$ 在地面的影长 $C M = 4.5 m$ ，求窗户的高度．

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18. 若两个连续整数的积是56，求这两个连续整数的和．

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四、解答题 (二) : 本大题共 3 小题, 每小题 9 分, 共 27 分.

19. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片 $($ 这四张卡片分别用字母 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同 $)$ ，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．

(1)、小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为．

(2)、小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率．

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20. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 $I$ (单位： A )与电阻 $R$ （单位： $Ω$ ）是反比例函数关系，它的图象如图所示.

(1)、这个反比例函数的表达式是 $(R > 0)$ .

(2)、若使用时电阻 $R = 12 Ω$ ，则电流 $I =$ A.

(3)、如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过 10 A ，那么用电器的可变电阻至少是多少?

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21. 在一堂数学课上，张老师要求同学们在一张长 12 cm 、宽 5 cm 的矩形纸片内折出一个菱形，甲同学很快想了一个办法，他将较短的一条边与较长一边重合，展开后得到四边形 $A B E F$ (见图 1)；乙同学按照取两组对边中点的方法折出四边形 $E F G H$ (见图 2)；丙同学也不甘示弱，他沿矩形的对角线 $A C$ 折出 $∠ C A E = ∠ D A C, ∠ A C F = ∠ A C B$ ，得到四边形 $A E C F$ (见图 3). 请解答下列问题：

(1)、关于甲、乙两位同学的做法描述正确的是____

A、甲、乙都得到菱形 B、甲、乙都没得到菱形 C、只有甲得到菱形 D、只有乙得到菱形

(2)、证明丙同学得到的四边形 $A E C F$ 是菱形.

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五、解答题（三）：本大题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分.

22. 探索一个问题： "任意给定一个矩形 $A$ ，是否存在另一个矩形 $B$ ，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半? "

(1)、完成下列空格：
当已知矩形 $A$ 的边长分别为 6 和 1 时，小明是这样研究的：设所求矩形 B 的一边是 $x$ ，则另一边为 $(\frac{7}{2} - x)$ ，由题意得方程： $x (\frac{7}{2} - x) = 3$ ，化简得：
$2 x^{2} - 7 x + 6 = 0$
$b^{2} - 4 a c = 49 - 48 > 0$
解得： $x_{1} =$ ， $x_{2} =$ .
$∴$ 满足要求的矩形 $B$ 存在.
小红的做法是：设所求矩形的两边分别是 $x$ 和 $y$ ，由题意得方程组： $\{\begin{array}{l} x + y = \frac{7}{2} \\ x y = 3 \end{array}$ 消去 $y$ 化简后也得到： $2 x^{2} - 7 x + 6 = 0$ ， (以下同小明的做法)

(2)、如果已知矩形 $A$ 的边长分别为 2 和 1 时，请你仿照小明或小红的方法研究是否存在满足要求的矩形 $B$ .

(3)、在小红的做法中，我们可以把方程组整理为： $\{\begin{array}{l} y = \frac{7}{2} - x \\ y = \frac{3}{x} \end{array}$ ，此时两个方程都可以看成是函数表达式，从而我们可以利用函数图象解决一些问题. 仿照这种方法，如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中 $x$ 和 $y$ 分别表示矩形 $B$ 的两边长，直线经过点 $(0,4.5) 、 (4.5,0)$ ，双曲线经过点 $P (4,1)$ ，请你结合刚才的研究，回答下列问题：（完成下列空格）
①这个图象所研究的矩形 $A$ 的面积为；周长为.
②满足条件的矩形 $B$ 的两边长为和.

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23. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $B C$ 上 (不与点 $B, C$ 重合)，连接 $A E$ . 点 $D$ 关于直线 $A E$ 的对称点为点 $P$ ，连接 $P A, P B, P D, P D$ 交 $A E$ 于点 $F$ ，延长 $P B$ 交 $A E$ 的延长线与点 $H$ .

(1)、依题意补全图形，并判断 $A P$ 与 $A B$ 是否相等.

(2)、求 $∠ A H B$ 的度数.

(3)、求证： $B H + P H = \sqrt{2} A H$ .

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$x$	$\dots$	-4	-1	2	4	$\dots$
$y$	$\dots$	$y_{1}$	4	$y_{2}$	-1	$\dots$