江西省重点中学盟校2025届高三7月联考数学试卷

试卷更新日期：2024-08-04 类型：开学考试

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一、选择题：（本大题共有8小题，每小题5分，共40分.）

1. 已知集合 $M = \{x |x > - \frac{3}{2}\}, N = \{x \in Z |- \frac{5}{2} < x < 1\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{x |- \frac{3}{2} < x < 1\}$ B、 $\{- 2, - 1, 0\}$ C、 $\{- 1, 0\}$ D、 $\{0, 1\}$

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2. 已知命题 $p : \forall x \in R, |x - 1| < 1$ ，命题 $q : \exists x \in R, x^{2} - x + 1 < 0$ ，则（）

A、命题 $p$ 和命题 $q$ 都是真命题 B、命题 $p$ 的否定和命题 $q$ 都是真命题 C、命题 $q$ 的否定和命题 $p$ 都是真命题 D、命题 $p$ 的否定和命题 $q$ 的否定都是真命题

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3. 在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{4} = 8$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前10项的积为（）

A、 $2^{40}$ B、 $2^{45}$ C、 $2^{50}$ D、 $2^{55}$

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4. 已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} - 2 x^{2}, x > 0, \\ ln (1 - x), x \leq 0, \end{array}$ 则不等式 $f (x + 3) < f (x^{2} + 3 x)$ 的解集是（）

A、 $(- 3, 1)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- \infty, - 3) \cup (1, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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5. 已知直线 $l : (m - 1) x + 2 y + 3 - m = 0$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 x + 6 y = 0$ 交于 $A, B$ 两点，则线段 $A B$ 的长度的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{10}, 3 \sqrt{2}]$ B、 $[2 \sqrt{10}, 6 \sqrt{2}]$ C、 $[2 \sqrt{10}, 4 \sqrt{2}]$ D、 $[\sqrt{10}, 6 \sqrt{2}]$

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6. 若 $f (x + y) = f (x) + f (y) + x y$ 对任意 $x, y \in R$ 恒成立， $f (1) = 1$ ，则 $f (30) =$ （）

A、189 B、190 C、464 D、465

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7. 已知 $x, y$ 为正实数，且 $x + y = 1$ ，则 $\frac{x + 2 y + 1}{x y}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} + 1$ B、 $2 \sqrt{2} - 1$ C、 $2 \sqrt{6} + 5$ D、 $2 \sqrt{6} - 5$

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8. 函数 $f (x) = \frac{x}{ln x}$ ，若关于 $x$ 的不等式 ${[f (x)]}^{2} + t f (x) < 0 (t \in R)$ 有且仅有四个整数解，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{5}{ln 5}, - \frac{2}{ln 2})$ B、 $(\frac{2}{ln 2}, \frac{6}{ln 6}]$ C、 $(\frac{5}{ln 5}, \frac{6}{ln 6}]$ D、 $[- \frac{6}{ln 6}, - \frac{5}{ln 5})$

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二、多选题：（本题共有3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9. 已知 $a, b, c \in R$ ，且 $a > b, a b c \neq 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $c - a < c - b$ D、 $2^{a} > 2^{b}$

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10. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $y = f (x - 1)$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称，且对任意的 $x \in R$ 都有 $f (- x) + f (x + 2) = 2, f (0) = - 1$ ，则下列正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (- 1) = - 1$ C、2是 $f (x)$ 的一个周期 D、 $\sum_{k = 1}^{2025} f (k) = 2025$

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11. 曲线 $C$ 的方程为： ${(x^{2} + y^{2})}^{3} = 4 x^{2} y^{2}$ ，该曲线是由四条封闭曲线组成，点 $P$ 为曲线上的一点，下列说法正确的是（）

A、直线 $y = x$ 及直线 $y = - x$ 都是曲线 $C$ 的对称轴 B、点 $A (1, 1)$ 在封闭曲线内部 C、点 $P$ 到原点的距离的最大值为1 D、点 $P$ 的纵坐标的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）

12. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，体积为 $7 π$ ，则该圆台的母线长为.

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13. 已知 $3^{a} = 1 + 3^{b} (a \geq 1)$ ，则 $a - b$ 的最大值为.

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14. 设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{2} = \sqrt{e}, a_{n}^{2} \sqrt{a_{n - 2}} = a_{n - 1}^{2} (n \geq 3, n \in N^{*})$ ，则 $ln a_{2025} - \frac{1}{2} ln a_{2024}$ 的值为.

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四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

15. 已知函数 $f (x) = ln x - 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若不等式 $f (x) \leq (a - 2) x + 2$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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16. 已知函数 $f (x) = t x^{2} + x - 3 t + 1, (t \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(- \infty, 2)$ 上单调递增，求 $t$ 的取值范围；

(2)、若 $t > 0$ ，设函数 $f (x)$ 在区间 $[- 2, - 1]$ 上的最大值为 $g (t)$ ，求 $g (t)$ 的表达式，并求出 $g (t)$ 的最小值.

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17. 已知四棱锥 $P - A B C D, E 、 F$ 分别为 $A C, P B$ 的中点， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, B C ⊥ P C$ .

(1)、若 $D E ⊥ A C$ ，证明： $D E / /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $A C = B C = 2$ ，二面角 $A - F C - B$ 的大小为 $120^{\circ}$ ，求 $P A$ .

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18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，长轴长为 $4$ ，焦距长为 $2$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $A (0, 3)$ ，点 $G$ 为椭圆 $C$ 上一点，求 $△ A G F_{2}$ 周长的最大值；

(3)、直线 $l : y = k x + m (m > 0)$ 与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，且 $P, Q$ 关于原点的对称点分别为 $M, N$ ，若 $| O P |^{2} + | O Q |^{2}$ 是一个与 $m$ 无关的常数，则当四边形 $P Q M N$ 面积最大时，求直线 $l$ 的方程.

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19. 已知数列 $\{a_{n}\}$ ，记集合 $T = \{S (i, j) ∣ S (i, j) = a_{i} + a_{i + 1} + \dots + a_{j}, 1 \leq i < j \leq n, i, j \in N^{*}\}$ .

(1)、对于数列 $\{a_{n}\} : 2, 4, 6$ ，写出集合 $T$ ；

(2)、若 $a_{n} = 2 n$ ，是否存在 $i, j \in N^{*}$ ，使得 $S (i, j) = 2048$ ?若存在，求出一组符合条件的 $i, j$ ，若不存在，说明理由；

(3)、若 $a_{n} = 2 n - 2$ ，把集合 $T$ 中的元素从小到大排列，得到的新数列为 $\{b_{n}\} : b_{1}, b_{2}, \dots, b_{m}, \dots$ ，若 $b_{m} \leq 2024$ ，求 $m$ 的最大值.

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