湖北省襄阳市襄州区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-11-20 类型：期中考试

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一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在括号里．

1. 方程 $x (x - 1) = 0$ 的根是 $($ $)$

A、 $x = 0$ B、 $x = 1$ C、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 1$ D、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 1$

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2. 下列图案中不是中心对称图形的是（       ）

A、
    B、
    C、
    D、


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3. 已知⊙O的半径是4cm，点P与⊙O在同一平面内，OP=3cm，下列结论正确的是（）

A、点P在⊙O内 B、点P在⊙O上 C、点P在⊙O外 D、不能确定

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4. 如图，将 $△ A O B$ 绕点O按逆时针方向旋转 $60 °$ 后得到 $△ C O D$ ，若 $∠ A O B = 20 °$ ，则 $∠ A O D$ 的度数是（）

A、 $20 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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5. 要得到抛物线y=2(x-4）²-1，可以将抛物线 $y = 2 x^{2}$ （）

A、向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B、向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C、向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D、向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度

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6. 如图，在 $⊙ O$ 中， $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{B C}$ ，则 $∠ B O C$ 的度数为（）

A、 $100 °$ B、 $110 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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7. 某商品原价每件为200元，连续两次降价m%后售价为162元，则m的值为（）

A、5 B、10 C、15 D、20

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8. 半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是( )

A、3 B、4 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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9. 点 $A (- 3, y_{1})$ ， $B (- 2, y_{2})$ ， $C (2, y_{3})$ 都在抛物线 $y = - 2 {(x + 1)}^{2} - 1$ 上，将 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 按从小到大排列并用“ $<$ ”连接，正确的是（）

A、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ B、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ C、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ D、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$

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10. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，则下列结论错误的是（）

A、 $b > 0$ B、 $b^{2} < 4 a c$ C、 $2 a - b > 0$ D、 $a + b + c > 0$

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．把答案填在相应横线上．）

11. 在平面直角坐标系中，点 $A (- 3 ， 2)$ 关于原点的对称点为B，则点B的坐标为．

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12. 已知一元二次方程 $x^{2} - 6 x + c = 0$ 有一个根为 $2$ ，则另一根为.

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13. 参加聚会的所有人之间都要互送一张卡片，共送出56张卡片，参加聚会的有人

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14. 崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x²+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是米．

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15. 已知 $P A 、 P B$ 分别切 $⊙ O$ 于点 $A 、 B$ ， $C$ 为 $⊙ O$ 上不同于 $A 、 B$ 的一点， $∠ P = 80 °$ ，则 $∠ A C B$ 的度数是．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，将 $△ A B C$ 绕点A旋转，使点C落在 $A B$ 边上的点E处，点B落在点D处，连接 $B D$ ， $C E$ ，延长 $C E$ 交 $B D$ 于点F，则 $E F$ 的长为．

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三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17. 用适当的方法解下列方程：

(1)、 ${(x - 2)}^{2} - (x - 2) = 0$ ；

(2)、 $x^{2} - x = x + 1$ ．

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18. 如图是由小正方形组成的 $7 \times 6$ 网格，每个小正方形的顶点叫做格点． $△ A B C$ 的顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．

(1)、请在图1中画出 $△ A B C$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ 后得到的 $△ A B_{1} C_{1}$ ；

(2)、请在图2中画出 $△ A B C$ 的外接圆的圆心O．（保留画图过程痕迹）

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19. 抛物线 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1$ 与y轴交于点 $(0, 3)$ ，且顶点在第四象限．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、请直接写出当 $0 \leq x \leq 3$ 时，y的取值范围．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 分别交 $B C$ ， $A C$ 于点D，E，连接 $E B$ ，交 $O D$ 于点F．

(1)、求证： $O D ⊥ B E$ ；

(2)、若 $E F = 4$ ， $D F = 2$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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21. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 m x + m^{2} + m - 3 = 0$ 有实数根．

(1)、求 $m$ 的范围；

(2)、如果方程两根分别为 $α$ ， $β$ ，若 $α β = 17$ ，求 $m$ 的值．

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22. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C，E在 $⊙ O$ 上， $A C$ 平分 $∠ B A E$ ， $C D ⊥ A E$ 交 $A E$ 的延长线于点D．

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、连接 $E C$ ，若 $D E = 1$ ， $A E = 2$ ，求 $E C$ 的长．

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23. 某批发商出售一种成本价为10元/件的商品，市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与销售价x（元/件）满足一次函数 $y = - 10 x + 400$ ．这种商品每周的销售利润为w元．

(1)、求w与x的函数关系式；

(2)、该商品销售价定为每件多少元时，每周的销售利润最大？

(3)、商家为了盘活资金，减少库存，要确保这种商品每周的销售量不少于180件，若这种商品每周的销售利润为2000元，则该商品每周的销售量是多少？

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24. 在 $△ A O B$ 中， $O A > O B$ ，将 $△ A O B$ 绕点O逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ C O D$ ，点M，N分别是 $A B ， C D$ 的中点，连接 $O M ， O N ， M N$ ．

(1)、证明与推断：如图1，当 $∠ A O B = 90 °$ 时，①求证： $△ A O M ≌ △ C O N$ ；②推断： $△ M O N$ 是三角形；

(2)、类比探究：如图2，当 $∠ A O B > 90 °$ 时，判断 $△ M O N$ 的形状并证明；

(3)、拓展运用：在（2）的条件下；当点N在 $O B$ 上时（如图3），设 $A B ， C D$ 相交于点E，若 $A M = \sqrt{5} M N$ ， $O B = 3$ ，求线段 $M N$ 的长．

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25. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 与x轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ 两点，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的解析式及点C的坐标；

(2)、若点P在直线 $B C$ 下方的抛物线上，过点P作 $P D ∥ O C$ 交 $B C$ 于点D，求 $P D$ 长度的最大值；

(3)、当 $- 1 \leq x \leq m$ 时，y的最大值与最小值的和是 $- 2$ ，求m的值．

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