广西南宁市马山县第三高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2024-07-03 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.

1. 设集合 $A = \{(x, y) |\frac{y - 1}{x - 2} = 1\}$ ， $B = \{(x, y) |y = x^{2} - 2 x + 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{(1, 0), (2, 1)\}$ C、 $\{(2, 1)\}$ D、 $\{(1, 0)\}$

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2. 已知幂函数 $f (x) = (2 m - 1) x^{n}$ 的图象经过点 $(2, 8)$ ，下面给出的四个结论：
① $f (x) = x^{- 3}$ ；
② $f (x)$ 为奇函数；
③ $f (x)$ 在R上单调递增；
④ $f (a^{2} + 1) < f (1)$ ，其中所有正确命题的序号为( )

A、①④ B、②③ C、②④ D、①②③

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3. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ 的图象如图所示，其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ，则下列关于函数 $f (x)$ 的说法中错误的是（）

A、在 $(- π, - \frac{5 π}{6})$ 上单调递减 B、 $φ = - \frac{π}{6}$ C、最小正周期是 $π$ D、对称轴是直线 $x = \frac{π}{3} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$

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4. 在 $△ A B C$ 中，点 $D ， E$ 满足 $\vec{B D} = \vec{D C} ， \vec{A E} = 2 \vec{E C} ， B E$ 与 $A D$ 交于点 $P$ ，若 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $x y =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{25}$ D、 $\frac{4}{9}$

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5. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为60°，则在下列向量中，与 $\vec{b}$ 垂直的是（）

A、 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ B、 $2 \vec{a} + \vec{b}$ C、 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ D、 $2 \vec{a} - \vec{b}$

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6. 已知复数 $z = \frac{2 - i}{i^{2022}}$ ，则（）

A、 $z$ 的虚部为 $i$ B、 $z$ 的实部为 $- 2$ C、 $z < 2$ D、 $| z | < 2$

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7. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，E，F，G分别为线段 $B C, C C_{1}, B B_{1}$ 上的动点（不含端点），

①异面直线 $D_{1} D$ 与AF所成角可以为 $\frac{π}{4}$
②当G为中点时，存在点E，F使直线 $A_{1} G$ 与平面AEF平行
③当E，F为中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{8}$
④存在点G，使点C与点G到平面AEF的距离相等
则上述结论正确的是（）

A、①③ B、②④ C、②③ D、①④

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8. 如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积 $($ 　　 $)$

A、 $2 \sqrt{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 (1 + \sqrt{2})$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分.

9. 已知函数 $f (x) = A cos (2 x + φ) - 1$ $(A > 0, 0 < φ < π)$ ，若函数 $y = |f (x)|$ 的部分图象如图所示，函数 $g (x) = A \sin (A x - φ)$ ，则下列结论不正确的是（　　）

A、将函数 $y = f (x) + 1$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度可得到函数 $g (x)$ 的图象 B、函数 $y = g (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6}, 0)$ 对称 C、函数 $g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的单调递减区间为 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{2}]$ D、若函数 $g (x + θ) (θ \geq 0)$ 为偶函数，则θ的最小值为 $\frac{7}{12} π$

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10. 设向量 $\vec{a} = (k, 2), \vec{b} = (1, - 1)$ ，则下列叙述正确的是（）

A、若 $k = - 3$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角 B、 $| \vec{a} |$ 的最小值为2 C、与 $\vec{b}$ 垂直的单位向量只能为 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、若 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ ，则 $k = \pm 2 \sqrt{2}$

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11. 设数 $ω = c o s \frac{4}{3} π + i s i n \frac{4}{3} π$ ，则下列关于复数 $ω$ 的说法正确的是( )

A、 $| ω | = 1$ B、 $\bar{ω} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、 $1 + ω + ω^{2} = 0$ D、 $1 - ω + ω^{2} = 0$

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12. 如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球 $O_{1}$ ，球 $O_{2}$ 切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球 $O_{1}$ ，球 $O_{2}$ 的半径分别为4和1，球心距 $|O_{1} O_{2}| = \sqrt{34}$ ，则（）

A、椭圆C的中心不在直线 $O_{1} O_{2}$ 上 B、 $|E F| = 4$ C、直线 $O_{1} O_{2}$ 与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为 $\frac{5 \sqrt{34}}{34}$ D、椭圆C的离心率为 $\frac{3}{5}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 设命题 $p : \exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + a x_{0} + a ≤ 0$ .若p为假命题，则实数a的取值范围是.

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14. 如图，在平行四边形ABCD中， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足 $\frac{B M}{B C} = \frac{N C}{D C} = λ$ ，其中 $λ \in [0, 1]$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的最小值是.

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15. 在复平面内，已知 $O$ 为坐标原点，点 $Z_{1}$ 、 $Z_{2}$ 分别对应复数 $z_{1} = 4 + 3 i$ ， $z_{2} = 2 a - 3 i (a \in R)$ ，若 $\overset{⃑}{O Z_{1}} ⊥ \overset{⃑}{O Z_{2}}$ ，则 $a =$ .

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16. 已知复数 $z$ 满足 $\frac{1 - z}{1 + z} = - i$ ，则 $| z | =$ .

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要得文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 设函数 $f (x) = s i n 2 x - \sqrt{3} c o s 2 x - 1$ ．

(1)、设 $x \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{6}]$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值和最小值；

(2)、设函数 $g (x) = f (x + φ) + 4 m (m \in R) (0 < φ < \frac{π}{2})$ 为偶函数，求 $φ$ 的值，并求函数 $g (x)$ 的单调增区间．

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18. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $B D = 5$ ， $∠ C B D = 60 °$ .

(1)、若 $\sin ∠ B C D = \frac{1}{4}$ ，求 $C D$ 的长；

(2)、若 $A D = 2$ ，求 $\cos ∠ A B D$ .

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19. 已知复数 $z_{1} = a + 2 + (a - 1) i$ ， $z_{2} = 2 + (3 a + 1) i$ ， $a \in R$ .

(1)、若复数 $z_{1} - z_{2}$ 在复平面内的对应点落在第二象限，求实数a的取值范围；

(2)、若虚数 $z_{1}$ 是方程 $x^{2} - 8 x + m = 0$ 的一个根，求实数m的值.

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20. 一个圆台的母线长为 $12 cm$ ，两底面面积分别为 $4 π {cm}^{2}$ 和 $25 π {cm}^{2}$ ．
（1）求圆台的高；
（2）求截得此圆台的圆锥的母线长．

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21. 如图所示，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A B$ 的中点，点 $F$ ， $G$ 分别是 $A D$ ， $B C$ 的三等分点（ $A F = \frac{1}{3} A D$ ， $B G = \frac{1}{3} B C$ ），设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{E F}$ ， $\vec{E G}$ ；

(2)、如果 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$ 且 $∠ B A D = 60^{\circ}$ ，求 $∠ F E G$ 的余弦值.

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22. 已知 $4 k x^{2} - 4 k x + k + 1 = 0$ 是关于x的实系数一元二次方程.

(1)、若a是方程的一个根，且 $| a | = 1$ ，求实数k的值；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是该方程的两个实根，且 $k \in Z$ ，求使 $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}}$ 的值为整数的所有k的值.

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