浙江省浙大附中玉泉校区2023-2024学年高二上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-08 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 直线 $\sqrt{3} x - y + 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{3} = 6$ ， $a_{9} = 18$ ，则公差 $d$ 为（）

A、1 B、3 C、2 D、4

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3. 几何体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是平行六面体，底面 $A B C D$ 为矩形，其中 $A B = 1, A D = 2, A A_{1} = 3$ ，且 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60^{\circ}$ ，则线段 $A C_{1}$ 的长为（）

A、 $\sqrt{14}$ B、 $\sqrt{19}$ C、 $\sqrt{22}$ D、 $\sqrt{23}$

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4. 已知 $A$ 为抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点，点 $A$ 到 $C$ 的焦点的距离为 $15$ ，到 $y$ 轴的距离为 $12$ ，则 $p$ 的值为（）

A、 $3$ B、 $6$ C、 $9$ D、 $12$

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5. 已知 $R$ 上可导函数 $f (x)$ 的图象如图所示， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则不等式 $x f^{'} (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 2) \cup (1, 2)$ C、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- 1, 0) \cup (2, + \infty)$

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6. 跑步是一项常见的有氧运动，能增强人体新陈代谢和基础代谢率，是治疗和预防“三高”的有效手段.赵老师最近给自己制定了一个180千米的跑步健身计划，计划前面5天中每天跑4千米，以后每天比前一天多跑0.4千米，则他要完成该计划至少需要（）

A、23天 B、24天 C、25天 D、26天

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7. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \{\begin{array}{l} (2 - p) n - 2, n \leq 6 \\ p^{n - 6}, n > 6 \end{array} (n \in N^{*})$ ，且对任意的 $n \in N^{*}$ 都有 $a_{n + 1} > a_{n}$ ，则实数 $p$ 的取值范围是（）

A、 $(1, \frac{7}{4})$ B、 $(1, \frac{10}{7})$ C、 $(1, 2)$ D、 $(\frac{10}{7}, 2)$

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8. 已知点 $M (x_{1}, y_{1})$ 在直线 $l_{1} : y = x + 2$ ，点 $N (x_{2}, y_{2})$ 在直线 $l_{2} : y = x$ 上，且 $M N ⊥ l_{1}$ ， $\sqrt{x_{1}^{2} + {(y_{1} - 4)}^{2}} + \sqrt{{(x_{2} - 5)}^{2} + y_{2}^{2}}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{11 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{41} - \sqrt{2}$ D、5

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二、多选题：本题共4小题，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．

9. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（）

A、若空间向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ ，满足 $|\overset{⃑}{a}| = |\overset{⃑}{b}|$ ，则 $\overset{⃑}{a} = \overset{⃑}{b}$ B、若非零向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{c}$ ，满足 $\overset{⃑}{a} ⊥ \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{b} ⊥ \overset{⃑}{c}$ ，则有 $\overset{⃑}{a} ∥ \overset{⃑}{c}$ C、若 $\overset{⃑}{O A}, \overset{⃑}{O B}, \overset{⃑}{O C}$ 是空间的一组基底，且 $\overset{⃑}{O D} = \frac{1}{3} \overset{⃑}{O A} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{O B} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{O C}$ ，则 $A, B, C, D$ 四点共面 D、若向量 $\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c}, \overset{⃑}{c} + \overset{⃑}{a}$ 是空间的一组基底，则 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{c}$ 也是空间的一组基底

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10. 若方程 $\frac{x^{2}}{3 - t} + \frac{y^{2}}{t - 1} = 1$ 所表示的曲线为C，则下面四个说法中错误的是（）

A、若 $1 < t < 3$ ，则C为椭圆 B、若C为椭圆，且焦点在y轴上，则 $2 < t < 3$ C、曲线C可能是圆 D、若C为双曲线，则 $t < 1$

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11. 已知直线 $l_{1} : a x + 3 y - 1 = 0, l_{2} : x + (a - 2) y + 1 = 0$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = \frac{3}{2}$ B、若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $a = 3$ 或 $a = - 1$ C、原点到直线 $l_{1}$ 的最大距离为 $\frac{1}{3}$ D、若 $l_{1}, l_{2}$ 的倾斜角分别为 $α_{1}, α_{2}$ ，且 $α_{2} = 2 α_{1}$ ，则 $a = \frac{6 \pm 3 \sqrt{11}}{7}$

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12. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别为 $A B$ ， $A D$ ， $A_{1} B_{1}$ 的中点， $P$ 是其表面上的一个动点，则下列说法正确的是（）

A、当 $P$ 在表面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上运动时，三棱锥 $P - A B D$ 的体积为定值 $\frac{2}{3}$ B、当 $P$ 在线段 $B B_{1}$ 中点时，平面 $E F P$ 截正方体所得截面的面积为 $3 \sqrt{3}$ C、当 $P$ 在底面 $A B C D$ 上运动，且满足 $P G ∥$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ 时， $P G$ 长度的最小值是 $\sqrt{6}$ D、使直线 $A P$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为45°的点 $P$ 的轨迹长度为 $π + 4 \sqrt{2}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 双曲线 $x^{2} - m y^{2} = 1 (m > 0)$ 的右焦点坐标为 $(2, 0)$ ，则该双曲线的渐近线方程为．

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14. 已知直线过点 $A (1, - 1, - 1)$ ，且方向向量为 $(1, 0, - 1)$ ，则点 $P (1, 1, 1)$ 到直线 $l$ 的距离为.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ，则 $a_{10} =$ .

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16. 若对任意的 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in (m, + \infty)$ ，且当 $x_{1} < x_{2}$ 时，都有 $\frac{2}{x_{1} x_{2}} < \frac{\ln x_{2} - \ln x_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ ，则 $m$ 的最小值是.

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知O为坐标原点，动点P到两个定点 $O (0, 0), A (3, 0)$ 的距离的比 $\frac{1}{2}$ ，记动点P的轨迹为曲线C，

(1)、求由线C的方程；

(2)、若直线l过点 $B (0, 2)$ ，曲线C截l所得弦长等于 $2 \sqrt{3}$ ，求直线l的方程．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} (x - \frac{1}{2})$
（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上的值域.

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19. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ，且 $S_{n} = a_{n + 1} - 2$ .
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\{(2 n + 1) \cdot a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形ABCD为平行四边形， $A C \cap B D = O, A D = B D = 2, ∠ A D B = 90^{\circ}$ ，在等腰直角 $△ B P D$ 中， $∠ B P D = 90^{\circ}$ ， M为PD的中点， $P O ⊥ A C$ ．

(1)、求证： $O M / /$ 平面BCP；

(2)、求二面角 $C - B P - A$ 的正弦值．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值点和零点；

(2)、若 $f (x) < k x - \frac{1}{x}$ 恒成立，求实数k的取值范围．

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22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， A为C的上顶点，且 $△ A F_{1} F_{2}$ 的周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、直线l： $y = k x + m (m \neq 0)$ 与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，当k为何值， ${|O M|}^{2} + {|O N|}^{2}$ 恒为定值，并求此时 $△ M O N$ 面积的最大值．

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