北京市翔宇中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2024-06-24 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题：（本题共15小题，每小题3分，共45分.）

1. 已知复数 $z = \frac{1 - i}{i}$ ，则在复平面内 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
2. 已知平面向量 $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (2, 3)$ ，则向量 $2 \vec{a} - 3 \vec{b} =$ （）

A、 $(- 7, - 4)$ B、 $(- 3, - 7)$ C、 $(- 4, - 2)$ D、 $(- 4, - 7)$

查看试题解析
3. 以下命题中正确的个数是（）
①两个相等向量的模相等；
②若 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 都是单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$ ；
③相等的两个向量一定是共线向量；
④零向量是唯一没有方向的向量；

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

查看试题解析
4. 如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的　(　　)

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
5. 若 $\vec{A B} = (2, 5), \vec{A C} = (- 1, 1)$ ，则 $\vec{C B} =$ （）

A、 $(3, 4)$ B、 $(- 4, - 3)$ C、 $(- 4, 3)$ D、 $(4, - 3)$

查看试题解析
6. 已知 $z = 2 - i$ ，则 $z (\bar{z} + i) =$ （）

A、 $6 - 2 i$ B、 $4 - 2 i$ C、 $6 + 2 i$ D、 $4 + 2 i$

查看试题解析
7. 要得到函数y＝sin $(2 x - \frac{π}{3})$ 的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　)

A、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

查看试题解析
8. 如图、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，若 $A B = P D = 3$ ， $A D = 2$ ，则该四棱锥的体积为（）

A、18 B、12 C、9 D、6

查看试题解析
9. 在△ABC中，已知a＝1，b＝ $\sqrt{3}$ ， A＝30°，则B等于（　　）

A、60° B、60°或120° C、30°或150° D、120°

查看试题解析
10. 如图，某四边形的斜二测直观图是上底为2，下底为4，高为1的等腰梯形，则原四边形的面积为

A、 $4$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $6$ D、 $6 \sqrt{2}$

查看试题解析
11. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (x, 2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (2, y)$ ， $\overset{⇀}{c} = (2, - 4)$ ，且 $\overset{⇀}{a} // \overset{⇀}{c}$ ， $\overset{⇀}{b} ⊥ \overset{⇀}{c}$ ，则 $|\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}| =$

A、3 B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{11}$ D、 $2 \sqrt{3}$

查看试题解析
12. 如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若 $\vec{A D} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $\frac{λ}{μ} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、2 D、 $\frac{2}{3}$

查看试题解析
13. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²+c²-b²⁼ $\sqrt[]{3}$ ac，则角B的值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

查看试题解析
14. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 $c = 2 a c o s B$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形

查看试题解析
15. 在 $△ A B C$ 中，若 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = k a b$ ，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2, 2)$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ D、 $(0, 1)$

查看试题解析

二、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

16. 已知复数 $z_{1} = 3 - 4 i$ ， $z_{2} = - 2 + 3 i$ ，则 $z_{1} + z_{2} =$

查看试题解析
17. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (3 ， 4) ， \overset{⇀}{b} = (- 6 ， x) ，$ 且 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b} ，$ 则实数 $x =$ .

查看试题解析
18. 在 $△ A B C$ 中，若 $a = 3$ ， $c = \sqrt{2}$ ， $B = \frac{π}{4}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

查看试题解析
19. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在 $△ A B C$ 中，若 $A F = 1, F D = 2$ ，则 $A B =$ .

查看试题解析
20. 在如图所示的几何体中，是棱柱的为.（填写所有正确的序号）

查看试题解析

三、解答题：（本题共6小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

21. 某组合体的直观图如图所示，它的上部为圆柱体，下部为长方体，试求该组合体的表面积和体积.

查看试题解析
22. 已知复数 $z = (2 - m i) (1 - i) (m \in R)$ .
(1)若 $z$ 是纯虚数，求 $m$ 的值；
(2)若 $\bar{z}$ 在复平面上对应的点在第四象限，求 $m$ 的取值范围.

查看试题解析
23. 在 $△ A B C$ 中， $\sqrt{3} a = 2 b sin A$ .

(1)、求 $∠ B$ ；

(2)、若 $b = \sqrt{7}, c = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

查看试题解析
24. 已知向量 $\overset{⃑}{a} = (1, 2), \overset{⃑}{b} = (- 3, k)$ .
（1）若 $\overset{⃑}{a} // \overset{⃑}{b}$ ，求 $|\overset{⃑}{b}|$ 的值；
（2）若 $\overset{⃑}{a} ⊥ (\overset{⃑}{a} + 2 \overset{⃑}{b})$ ，求实数 $k$ 的值；
（3）若 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角是锐角，求实数 $k$ 的取值范围．

查看试题解析
25. 在 $△ A B C$ 中， $a = 3$ ， $c = 5$ ， $\cos B = - \frac{1}{2}$ ．
（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）求 $\sin (B + C)$ 的值．

查看试题解析
26. 已知函数 $f (x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x$ .
（1）求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间.
（2）当 $x \in [0, \frac{π}{4}]$ 时，求 $f (x)$ 的最值.

查看试题解析

四、附加题：（每题10分，共20分）

27. 求函数 $f (θ) = 3 - {cos}^{2} θ - 4 sin θ$ 的值域.

查看试题解析
28. 如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r=1，母线长l=4，M为母线SA上的一个点，且SM=x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求：
(1)绳子的最短长度的平方f(x).
(2)绳子最短时，顶点到绳子的距离.
(3)f(x)的最大值.

查看试题解析